カージオイド

カージオイド（英: cardioid）は、極座標の方程式

r=a(1+\cos \theta )

によって表される曲線である。心臓形（しんぞうけい）とも呼ばれる。心臓に似た形のためこの名称が付いた（ギリシア語: καρδιοειδής, kardioeides) =「καρδιά (kardia, 心臓）」 + 「είδος (eidos, 形）」）。

直交座標の方程式では

(x^{2}+y^{2})(x^{2}+y^{2}-2ax)-a^{2}y^{2}=0

{\begin{aligned}x&=a(1+\cos \theta )\cos \theta ,\\y&=a(1+\cos \theta )\sin \theta \end{aligned}}

で、それぞれ表される。

性質

エピサイクロイドの一種と見なすことができる。またパスカルの蝸牛形（リマソン）の一種と見なすこともできる。
半径 $a$ の円の、当該円周上の点を垂足点とする垂足曲線に相当する。
x軸に対して線対称で、尖点は原点Oである。x軸とは原点Oと $(2 a, 0)$ で、y軸とは $(0, \pm a)$ で交わる。x軸から最も離れた点の座標は $\left({\frac {3}{4}}a,\pm {\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}a\right)$ である。
曲線で囲まれる面積 $S$ と曲線の弧長 $l$ は

{\begin{aligned}S&={\frac {3}{2}}\pi a^{2},\\l&=8a\end{aligned}}

である。