ランダムウォーク

二段階の確率過程による定義

${\displaystyle \mathbf {R} ^{d}}$ を ${\displaystyle d}$ 次元実数空間、${\displaystyle \textstyle (X_{n})_{n\in T},\ (S_{n})_{n\in T}}$ を ${\displaystyle \mathbf {R} ^{d}}$ が状態空間の確率過程とする。これらが次の条件、

• 添字集合 ${\displaystyle T}$ が高々可算な全順序集合
• ${\displaystyle \textstyle (X_{n})_{n\in T}}$ の各項が独立同分布に従う
• ${\displaystyle S_{n}=\sum _{k}^{n}X_{k}}$

を満たすとき、${\displaystyle \textstyle \ (S_{n})_{n\in T}}$ は実数状態空間におけるランダムウォークである。

すなわち、実数状態空間でのランダムウォークは、各時刻が状態空間 ${\displaystyle \mathbf {R} ^{d}}$ の独立同分布に従う離散時間確率過程 ${\displaystyle \textstyle (X_{n})_{n\in T}}$をベースとして「ベース過程の時刻 ${\displaystyle \textstyle n}$ までの総和」を時刻 ${\displaystyle \textstyle n}$ の確率要素 ${\displaystyle S_{n}}$とする離散時間確率過程 ${\displaystyle \textstyle (S_{n})_{n\in T}}$ である。

確率要素の差分による定義

${\displaystyle \mathbf {R} ^{d}}$ を ${\displaystyle d}$ 次元実数空間、${\displaystyle \textstyle (S_{n})_{n\in T}}$ を ${\displaystyle \mathbf {R} ^{d}}$ が状態空間の確率過程、${\displaystyle P^{\text{iid}}}$ を確率分布とする。これらが次の条件、

• 添字集合 ${\displaystyle T}$ が高々可算な全順序集合
• ${\displaystyle S_{n+1}=S_{n}+\varepsilon _{n+1},\quad \varepsilon _{n+1}\sim P^{\text{iid}}}$

を満たすとき、${\displaystyle \textstyle \ (S_{n})_{n\in T}}$ は実数状態空間におけるランダムウォークである。流儀によっては ${\displaystyle P^{\text{iid}}}$ を標準正規分布に限定する。

定義の同値性

二段階の確率過程による定義と、確率要素の差分による定義は、同義である。

前者は ${\displaystyle \textstyle S_{n}=\sum _{k}^{n}X_{k}=S_{n-1}+X_{n}}$ かつ ${\displaystyle \textstyle X_{k}\ (k\in T)}$ が独立同分布である。よって ${\displaystyle \textstyle X_{n}}$ の確率分布を ${\displaystyle \textstyle n}$ に依存しない ${\displaystyle \textstyle P^{\text{iid}}}$ として ${\displaystyle \textstyle \varepsilon _{n}:=X_{n}}$ とすると ${\displaystyle \textstyle S_{n}=S_{n-1}+\varepsilon _{n},\ \varepsilon _{n}\sim P^{\text{iid}}}$ に変形でき、これは後者そのものである。

コイントスで左右移動

「${\displaystyle \pm 0}$ のスタートから『コイントスが表なら ${\displaystyle +1}$（右）、裏なら ${\displaystyle -1}$ （左）動く』を繰り返して移動する」過程はランダムウォークになる。

コイントスにより確率 ${\displaystyle p}$ で表 ${\displaystyle {\text{H}}}$、確率 ${\displaystyle 1-p}$ で裏 ${\displaystyle {\text{T}}}$ が出るとする。これは確率空間で表現でき、この上に ${\displaystyle T=\{1,2,\ldots \},\ n\in T}$ へ対応した確率変数と誘導される確率空間を次で定義する：

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}(\Omega =\{{\text{H}},{\text{T}}\},&{\mathcal {F}}=2^{\Omega },&P),&\emptyset {\overset {P}{\rightarrow }}0,\ \{{\text{H}}\}{\overset {P}{\rightarrow }}p,\ \{{\text{T}}\}{\overset {P}{\rightarrow }}1-p,\ \{{\text{H}},{\text{T}}\}{\overset {P}{\rightarrow }}1.\\(S=\{+1,-1\},&{\mathcal {B}}=2^{S},&P^{X_{n}}),&{\text{H}}{\overset {X_{n}}{\longrightarrow }}+1,\ {\text{T}}{\overset {X_{n}}{\longrightarrow }}-1,\quad P^{X_{n}}(\cdot )=P(X_{n}^{-1}(\cdot )).\end{array}}}$

定義より ${\displaystyle \textstyle (X_{n})_{n\in T}}$ の各項は明らかに独立同分布に従う。ここで時刻 ${\displaystyle n}$ での位置を ${\displaystyle \textstyle S_{n}=S_{0}+\sum _{k=1}^{n}X_{k},\ S_{0}=\pm 0}$ と定義することで、${\displaystyle \textstyle \ (S_{n})_{n\in T}}$ は「コイントスで左右移動」を表現するランダムウォークになる。

性質の例

この節は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。 出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方） 出典検索?: "ランダムウォーク" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL (2026年5月)

上記の「コイントスで左右移動」を例に取る。ここではコインに偏りがない、つまり ${\displaystyle p=0.5}$ とし、時刻 ${\displaystyle n=+\infty }$ での位置 ${\displaystyle S_{\infty }}$ について考える。

このとき ${\displaystyle S_{\infty }}$ の確率分布は正規分布になる。つまり左右ランダムに動くと ${\displaystyle \pm 0}$ が最も確率が高く、中心から離れるほど確率が下がることがわかる。これは「フェアなコインを振ったら平均的には真ん中にいそう」「${\displaystyle S_{\infty }=+\infty }$ は全部表であり極めて稀である」という直感と合致する。

一方で、正の領域にいる時間の割合${\displaystyle x}$の分布は、${\displaystyle \textstyle (\pi {\sqrt {x(1-x)}})^{-1}}$の確率密度を持つ（負の領域にいる時間の割合は${\displaystyle 1-x}$）。これは${\displaystyle x=0}$および${\displaystyle x=1}$で無限大に発散するグラフである。すなわち、正・負のそれぞれの領域に半々ずつ点がいる確率よりも、どちらかの領域に多くいる確率の方がはるかに高い結果となる。

単純ランダムウォーク

${\displaystyle X_{n}}$ が ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{d}}$ 値であり、かつ、

${\displaystyle P(X_{n}=\mathbf {e} _{j})=P(X_{n}=-\mathbf {e} _{j})={\frac {1}{2d}}}$

（${\displaystyle \mathbf {e} _{j}}$ は、第 ${\displaystyle j}$ 成分が 1 の単位ベクトル）である時、S_n を（${\displaystyle d}$ 次元）単純ランダムウォーク (d dimensional simple random walk) という。

注釈

出典