Additieve functie (algebra)

In de wiskunde noemt men een functie additief als de functie aan de som van twee argumenten de som van de beide functiewaarden toevoegt.

Definitie

Een functie ${\displaystyle f}$ heet additief, als voor alle ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle y}$ geldt:

${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}$.

Additiviteit is een voorwaarde voor lineariteit.

Voorbeelden

• De afgeleide en de integraal zijn additief en zelfs lineair.

• De functie ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ is niet additief, want
  ${\displaystyle \quad f(x+y)=x^{2}+y^{2}+2xy=f(x)+f(y)+2xy}$,
  dus niet voor alle ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle y}$ geldt ${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}$
• Het reële deel is een functie op de complexe getallen die wel additief, maar niet homogeen, en dus niet lineair is.

Additiviteit voor functies op een collectie verzamelingen

Voor functies op een meetbare ruimte ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$ (d.w.z. dat ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ een σ-algebra is van deelverzamelingen van ${\displaystyle \Omega }$) is ook een eigenschap additiviteit gedefinieerd.

Een niet-negatieve functie ${\displaystyle \mu$ :{\mathcal {F}}\to [0,\infty ]} heet additief, ook eindig additief, als voor alle disjuncte ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {F}}}$ geldt:

${\displaystyle \mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B)}$.

Hieruit volgt dat voor ieder eindig aantal disjuncte verzamelingen ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}\in {\mathcal {F}}}$ geldt:

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\mu (A_{i})}$.

Als ook voor een aftelbaar oneindige rij disjuncte verzamelingen ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots \in {\mathcal {F}}}$ geldt dat:

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_{i})}$.

heet de functie σ-additief (sigma-additief).