Affiene groep

In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de affiene groep of de algemene affiene groep van een affiene ruimte over een lichaam/veld ${\displaystyle K}$ de groep van alle inverteerbare affiene transformaties van die ruimte. De groepsbewerking is de functiecompositie.

De affiene groep is een lie-groep als ${\displaystyle K}$ een reëel, complex of quaternionen-lichaam/veld is.

Definitie

Een inverteerbare affiene transformatie ${\displaystyle f_{A,a}\colon V\to V}$ van een vectorruimte ${\displaystyle V}$ is van de vorm

${\displaystyle f_{A,a}(v)=Av+a}$,

met ${\displaystyle A\in \mathrm {GL} (V)}$ een isomorfisme van ${\displaystyle V}$, en ${\displaystyle a}$ een vast element van ${\displaystyle V}$.

De transformatie ${\displaystyle f_{A,a}}$ is dus samengesteld uit het isomorfisme ${\displaystyle A}$ en een translatie over de vector ${\displaystyle a}$.

Er geldt:

${\displaystyle (f_{A,a}\circ f_{B,b})(v)=f_{A,a}(f_{B,b}(v))=f_{A,a}(Bv+b)=ABv+Ab+a=f_{AB,Ab+a}(x)}$

dus

${\displaystyle f_{A,v}\circ f_{B,w}=f_{AB,Ab+a}}$

en ook:

${\displaystyle f_{A,a}(v)=y\Leftrightarrow Av+a=y\Leftrightarrow v=A^{-1}y-A^{-1}a}$

zodat:

${\displaystyle f_{A,v}^{-1}=f_{A^{-1},(-A^{-1}a})}$

De inverteerbare, affiene transformaties vormen dus een groep, de affiene groep of algemene affiene groep, aangeduid met ${\displaystyle \mathrm {AGL} (V)}$, ${\displaystyle \mathrm {Aff} (V)}$ of ${\displaystyle \mathrm {GA} (V)}$.

Als ${\displaystyle V=K^{n}}$ de ${\displaystyle n}$-dimensionale ruimte over het lichaam/veld ${\displaystyle K}$ is, wordt de affiene groep genoteerd als ${\displaystyle \mathrm {AGL} _{n}(K)}$. In een context waarin ${\displaystyle K}$ duidelijk is, wordt ook wel alleen de parameter ${\displaystyle n}$ aangegeven, bijvoorbeeld ${\displaystyle \mathrm {Aff} (n)}$.

Voor eindige ${\displaystyle K}$ met ${\displaystyle q}$ elementen, schrijft men eenvoudigweg ${\displaystyle \mathrm {AGL} _{n}(q)}$, want een eindig lichaam/veld is door het aantal elementen op isomorfie na eenduidig bepaald.

De affiene groep ${\displaystyle \mathrm {Aff} (n)}$ van de ${\displaystyle n}$-dimensionale euclidische ruimte met elementen ${\displaystyle Ax+b}$ heeft een aantal belangrijke ondergroepen:

• algemene lineaire groep ${\displaystyle \mathrm {GL} (n)}$ met elementen ${\displaystyle Ax}$, de oorsprong blijft op zijn plaats
• euclidische groep ${\displaystyle \mathrm {E} (n)}$ of ${\displaystyle \mathrm {ISO} (n)}$ (de isometrieën, dus geen vervorming of vergroting/verkleining)
• orthogonale groep ${\displaystyle \mathrm {O} (n)}$ (de doorsnede van de twee: de isometrieën waarbij de oorsprong op zijn plaats blijft)

Verder zijn er nog de ondergroepen hiervan waarbij de determinant van de betreffende matrix 1 is:

• speciale lineaire groep, ${\displaystyle \mathrm {SL} (n)}$ (wel vervormingen, maar geen spiegeling en geen verandering van het ${\displaystyle n}$-dimensionale volume)
• speciale euclidische groep ${\displaystyle \mathrm {SE} (n)}$ (de directe isometrieën; voor ${\displaystyle n=3}$ zijn dit de mogelijke veranderingen van positie en stand van een star lichaam)
• speciale orthogonale groep ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$ (de directe isometrieën waarbij de oorsprong op zijn plaats blijft; voor ${\displaystyle n=2}$ zijn dit de draaiingen om de oorsprong, voor ${\displaystyle n=3}$ de draaiingen om een as door de oorsprong)

Referenties