Autoregressief model

Het autoregressieve (AR) model is een model uit de tijdreeksanalyse dat wordt gebruikt om bepaalde voorspellingen te doen.

Definitie

Het autoregressieve model van de orde ${\displaystyle p,}$ genoteerd als ${\displaystyle \mathrm {AR} (p),}$ is gedefinieerd als

${\displaystyle X_{t}=c+\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}X_{t-i}+\varepsilon _{t}}$,

waarin ${\displaystyle \varphi _{1},\ldots ,\varphi _{p}}$ de parameters van het model zijn, ${\displaystyle c}$ een constante is en ${\displaystyle \varepsilon _{t}}$ witte ruis is. De constante term wordt vaak weggelaten.

Aannames

1. ${\displaystyle \mathrm {E} (\varepsilon _{t})=0}$
2. ${\displaystyle \mathrm {E} (\varepsilon _{t}^{2})=\sigma ^{2}}$
3. ${\displaystyle \mathrm {E} (\varepsilon _{t}\varepsilon _{s})=0}$ voor alle ${\displaystyle t\neq s}$

Voorbeeld

Een ${\displaystyle \mathrm {AR} (1)}$-proces is gegeven door:

${\displaystyle X_{t}=c+\varphi X_{t-1}+\varepsilon _{t}\,}$

waarin ${\displaystyle \varepsilon _{t}}$ aan de aannames voldoet. Daardoor is de verwachtingswaarde ${\displaystyle \mathrm {E} (X_{t})}$ dezelfde voor alle waarden van ${\displaystyle t,}$ indien ${\displaystyle |\varphi |<1.}$. De verwachtingswaarde ${\displaystyle \mu }$ is gelijk aan

${\displaystyle \mathrm {E} (X_{t})=\mathrm {E} (c)+\varphi \mathrm {E} (X_{t-1})+\mathrm {E} (\varepsilon _{t})\Rightarrow \mu =c+\varphi \mu +0}$

Dus

${\displaystyle \mu ={\frac {c}{1-\varphi }}}$

In het bijzonder is, als ${\displaystyle c=0}$, de verwachtingswaarde gelijk aan 0.

De variantie is

${\displaystyle \mathrm {var} (X_{t})=\mathrm {E} (X_{t}^{2})-\mu ^{2}={\frac {\sigma _{\varepsilon }^{2}}{1-\varphi ^{2}}}}$,

waarin ${\displaystyle \sigma _{\varepsilon }}$ de standaardafwijking van ${\displaystyle \varepsilon _{t}}$ is.

Dit kan men zien doordat ${\displaystyle \mathrm {var} (X_{t})=\varphi ^{2}\mathrm {var} (X_{t-1})+\sigma ^{2}.}$