Besselfunctie

Besselfuncties zijn oplossingen van de besselse differentiaalvergelijking. Ze worden zo genoemd naar de wiskundige en astronoom Friedrich Wilhelm Bessel, die de vergelijking uitwerkte. Hij deed dit met het doel de verstoring te berekenen die drie hemellichamen op elkaars baan uitoefenen; voorbereidend werk was door anderen gedaan, maar Bessels vergelijking was meer algemeen geldig. Besselfuncties worden onderscheiden naar besselfuncties van de eerste soort en van de tweede soort. De besselfunctie van de eerste soort van de orde ${\displaystyle a}$ wordt genoteerd als ${\displaystyle J_{a}}$, en die van de tweede soort van de orde ${\displaystyle a}$ als ${\displaystyle Y_{a}}$.

Toepassingen

De besselvergelijking kan worden gebruikt om oplossingen te vinden voor de vergelijkingen van Laplace en van Helmholtz, wanneer daarbij cilindercoördinaten worden gebruikt. Daardoor zijn besselfuncties vooral van belang bij veel vraagstukken uit de wiskundige natuurkunde, zoals vragen omtrent golfvoortplanting, statische spanning enzovoort. Enkele voorbeelden zijn:

• elektromagnetische golven in een cilindrische golfgeleider
• warmtegeleiding in een cilindervormig voorwerp
• trillingswijzen van een dun cirkel- of ringvormig membraan; in de akoestiek staan die bekend als Chladni-patronen
• voortplanting van geluidsgolven in een akoestische hoorn
• verstrooiing in een tralie
• componentamplitudes bij frequentiemodulatie (FM)
• bepaling van grondwaterstanden bij wateronttrekking.

Historische achtergrond

Besselfuncties van de eerste en tweede soort

Besselfuncties zijn oplossingen ${\displaystyle y(x)}$ van de besselse differentiaalvergelijking:

${\displaystyle x^{2}y''(x)+xy'(x)+(x^{2}-a^{2})y(x)=0}$

Voor ${\displaystyle a=n\in \mathbb {Z} }$ is

${\displaystyle J_{-n}(x)=(-1)^{n}J_{n}(x)}$,

dus zijn ${\displaystyle J_{n}}$ en ${\displaystyle J_{-n}}$ lineair afhankelijk en daarom moest er een tweede onafhankelijke oplossing worden gezocht. Deze oplossing kan echter twee verschillende vormen aannemen, waarvan de eerste Y_n(x) gevonden werd door Carl Gottfried Neumann en de tweede ${\displaystyle Y_{n}(x)}$ door Heinrich Weber. Daardoor kan de algemene oplossing in dit geval geschreven worden als:

${\displaystyle y(x)=c_{1}J_{n}(x)+c_{2}Y_{n}(x)}$

Voor ${\displaystyle a\notin \mathbb {Z} }$ (de orde ${\displaystyle a}$ kan reële of complexe waarden aannemen) zijn ${\displaystyle J_{a}}$ en ${\displaystyle J_{-a}}$ lineair onafhankelijk, zodat voor de algemene oplossing geldt:

${\displaystyle y(x)=c_{1}J_{a}(x)+c_{2}J_{-a}(x)}$

in het bijzonder is

${\displaystyle Y_{a}(x)={\frac {J_{a}(x)\cos(a\pi )-J_{-a}(x)}{\sin(a\pi )}}}$

De besselfuncties van de eerste soort worden gegeven door de complexe integraal:

${\displaystyle J_{n}(x)={\frac {1}{2{\pi }i}}\oint _{C}{\frac {g(x,z)}{z^{n+1}}}\,\mathrm {d} z}$

met ${\displaystyle C}$ een geschikte contour en ${\displaystyle g(x,z)}$ de voortbrengende functie gegeven door:

${\displaystyle g(x,z)=e^{{\frac {x}{2}}(z-{\frac {1}{z}})}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(x)z^{n}}$

Eigenschappen

De besselfuncties van de eerste soort hebben de machtreeksontwikkeling

${\displaystyle J_{a}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!\,\Gamma (k+a+1)}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2k+a}}$,

die met de methode van Frobenius afgeleid kan worden.

De besselfuncties voldoen aan de recursieve betrekkingen:

${\displaystyle J_{n-1}(x)+J_{n+1}(x)={\frac {2n}{x}}J_{n}(x)}$

${\displaystyle J_{n-1}(x)-J_{n+1}(x)=2J_{n}'(x)}$

Een berekening leert dat de besselfunctie van de eerste soort en van de nulde orde gegeven wordt door:

${\displaystyle J_{0}(x)={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{1}{\frac {\cos(xt)}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,\mathrm {d} t}$

Als we ${\displaystyle J_{0}(x)}$ plotten, dan verkrijgen we het volgende resultaat:

${\displaystyle J_{0}(x)}$ bereikt haar maximale amplitude in de oorsprong. Naarmate ${\displaystyle x}$ zich verwijdert van de oorsprong, neemt de amplitude geleidelijk af om dan uiteindelijk te verdwijnen in het oneindige (${\displaystyle x\to +\infty }$, ${\displaystyle x\to -\infty }$).

Gemodificeerde besselfuncties van de eerste en tweede soort

In een aantal toepassingen is het argument van de besselfunctie een zuiver imaginair getal, wat aanleiding geeft tot de differentiaalvergelijking

${\displaystyle y''(x)+{\frac {1}{x}}y'(x)-(1+{\frac {a^{2}}{x^{2}}})y(x)=0\quad }$ (I)

waarvan de complexe oplossing luidt ${\displaystyle y=AJ_{a}(ix)+BJ_{-a}(ix)}$.

Men wil echter dikwijls over een reële oplossing beschikken, zodat de besselfunctie gewijzigd dient te worden. Aangezien ${\displaystyle i^{-a}=e^{-{\frac {1}{2}}a\pi i}}$ voor een gegeven orde ${\displaystyle a}$ constant is, zal ook ${\displaystyle I_{a}(x)=i^{-a}J_{a}(ix)}$ met ${\displaystyle x}$ reëel een oplossing van (I) zijn. ${\displaystyle I_{a}(x)}$ wordt de gewijzigde besselfunctie van de eerste soort en van de orde ${\displaystyle a}$ genoemd.

Men kan makkelijk nagaan dat ${\displaystyle I_{a}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\left({\frac {x}{2}}\right)^{a+2k}}{k!\Gamma (a+k+1)}}}$

Als ${\displaystyle a=n\in \mathbb {Z} }$ dan is ${\displaystyle I_{n}(-x)=(-1)^{n}I_{n}(x)}$.

De tweede oplossing van (I) is gedefinieerd als

${\displaystyle K_{a}(x)={\frac {{\frac {1}{2}}\pi \left(I_{-a}(x)-I_{a}(x)\right)}{\sin a\pi }}}$

en wordt de gewijzigde besselfunctie van de tweede soort en van de orde ${\displaystyle a}$ genoemd.

De algemene oplossing van (I) kan dan ook worden geschreven als

${\displaystyle y(x)=AI_{a}(x)+BK_{a}(x)}$

Als ${\displaystyle a=0}$ dan wordt (I) gelijk aan ${\displaystyle y''(x)+{\frac {1}{x}}y'(x)-y=0}$ met als oplossing ${\displaystyle y(x)=AI_{0}(x)+BK_{0}(x)}$

Hankelfuncties

In 1869 verscheen in de Mathematische Annalen een omvangrijk werk over de besselfuncties, geschreven door de Duitse wiskundige Hermann Hankel. Hankel voerde een contourintegratie uit voor de integraal

${\displaystyle y(x)=\int _{a}^{b}{\frac {e^{ixt}}{\sqrt {1-t^{2}}}}dt}$

in het complexe vlak van de veranderlijke ${\displaystyle t}$ en vond dat ${\displaystyle y(x)}$ een oplossing was van de differentiaalvergelijking

${\displaystyle y''(x)+{\frac {1}{x}}y'(x)+y(x)=0}$

Bij de waarden ${\displaystyle a=\pm 1}$, ${\displaystyle b=i\eta }$ en ${\displaystyle \eta \to \infty }$ blijkt dat de besselfunctie kan voorgesteld worden als de som van twee oneigenlijke integralen, die elk ook oplossingen zijn van de differentiaalvergelijking en

${\displaystyle J_{0}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{-1}^{1}{\frac {e^{ixt}}{\sqrt {1-t^{2}}}}dt={\frac {1}{2}}H_{0}^{(1)}(x)+{\frac {1}{2}}H_{0}^{(2)}(x)\quad }$ (II)

De functies ${\displaystyle H_{0}^{(1)}(x)}$ en ${\displaystyle H_{0}^{(2)}(x)}$ worden hankelfuncties en ook wel besselfuncties van de derde soort genoemd. Uitwerking van de integralen voor ${\displaystyle x}$ positief laat zien dat ${\displaystyle H_{0}^{(1)}(x)}$ en ${\displaystyle H_{0}^{(2)}(x)}$ complex toegevoegde functies zijn, zodat ze geschreven kunnen worden als

${\displaystyle H_{0}^{(1)}(x)=J(x)+iY(x)}$

${\displaystyle H_{0}^{(2)}(x)=J(x)-iY(x)}$

Dit in (II) geeft ${\displaystyle J(x)=J_{0}(x)}$ zodat

${\displaystyle H_{0}^{(1)}(x)=J_{0}(x)+iY(x)}$

${\displaystyle H_{0}^{(2)}(x)=J_{0}(x)-iY(x)}$

Aangezien ${\displaystyle H_{0}^{(1)}(x)}$ en ${\displaystyle H_{0}^{(2)}(x)}$ oplossingen zijn van de besselvergelijking moet ${\displaystyle Y(x)}$ ook een oplossing zijn en kunnen we schrijven ${\displaystyle Y(x)=AJ_{0}(x)+BY_{0}(x)}$ met ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$ constanten. Na substitutie in de differentiaalvergelijking blijkt dat ${\displaystyle A=0}$ en ${\displaystyle B=1}$ zodat ${\displaystyle Y(x)=Y_{0}(x)}$ en bijgevolg is

${\displaystyle H_{0}^{(1)}(x)=J_{0}(x)+iY_{0}(x)}$

${\displaystyle H_{0}^{(2)}(x)=J_{0}(x)-iY_{0}(x)}$

Veralgemenend kunnen we zeggen dat als ${\displaystyle J_{a}(x)}$ en ${\displaystyle Y_{a}(x)}$ oplossingen zijn van

${\displaystyle y''(x)+{\frac {1}{x}}y'(x)+(1-{\frac {a^{2}}{x^{2}}})y=0}$

voor alle waarden van ${\displaystyle a}$ dat de functies van de derde soort

${\displaystyle H_{a}^{(1)}(x)=J_{a}(x)+iY_{a}(x)}$

${\displaystyle H_{a}^{(2)}(x)=J_{a}(x)-iY_{a}(x)}$

ook oplossingen zijn.

De hankelfuncties worden gebruikt om respectievelijk uitgaande en reflecterende zich voortplantende golven, die oplossingen zijn van de cilindrische golfvergelijking, uit te drukken (of omgekeerd, afhankelijk van de tekenconventie voor de frequentie). Ze zijn onder andere van nut in de akoestiek.

Referenties

1. ↑ N.W. McLachlan, Bessel Functions for Engineers. Oxford University Press, 1941, blz. 1-3 (en)
2. ↑ Abramowitz en Stegun, pp. 358-389, 9.1.
3. ↑ Hermann Hankel, 'Die Cylinderfunktionen erster und zweiter Art' , M.A., Band 1 Heft 3, S. 467-501 (de)

Zie de categorie Bessel functions van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.