Chebyshev-polynoom

De chebyshev-polynomen van de eerste soort $T_{n} (x)$ en van de tweede soort $U_{n} (x)$ zijn twee rijen orthogonale polynomen, genoemd naar Pafnoeti Tsjebysjev. Hun belangrijke toepassingen liggen in onder andere de filtertechniek en in de numerieke wiskunde om benaderingen van functies te vinden. Chebyshev is de transliteratie van Tsjebysjev.

Eerste soort

De chebyshev-polynomen van de eerste rij $(T_{n} (x))$ zijn voor $n = 0, 1, 2, 3, \dots$ gedefinieerd als:

T_{n} (\cos (θ)) = \cos (n θ)

(1 - x^{2}) \frac{d^{2} y}{d x^{2}} - x \frac{d y}{d x} + n^{2} y = 0

\tilde{y} (θ) = y (\cos (θ))

gaat deze differentiaalvergelijking over in:

{\tilde{y}}^{″} + n^{2} \tilde{y} = 0

,

waaruit is te zien dat

\tilde{y} (θ) = \cos (n θ)

een oplossing is.

T_{0} (x) = 1

T_{1} (x) = x

T_{2} (x) = 2 x^{2} - 1

T_{3} (x) = 4 x^{3} - 3 x

T_{4} (x) = 8 x^{4} - 8 x^{2} + 1

T_{5} (x) = 16 x^{5} - 20 x^{3} + 5 x

T_{6} (x) = 32 x^{6} - 48 x^{4} + 18 x^{2} - 1

T_{7} (x) = 64 x^{7} - 112 x^{5} + 56 x^{3} - 7 x

T_{8} (x) = 128 x^{8} - 256 x^{6} + 160 x^{4} - 32 x^{2} + 1

T_{9} (x) = 256 x^{9} - 576 x^{7} + 432 x^{5} - 120 x^{3} + 9 x

De chebyshev-polynomen van de eerste soort voldoen aan de volgende recursieve relatie:

T_{0} (x) = 1

T_{1} (x) = x

T_{n + 1} (x) = 2 x T_{n} (x) - T_{n - 1} (x)

voor

n \geq 1

\sum_{n = 0}^{\infty} T_{n} (x) t^{n} = \frac{1 - t x}{1 - 2 t x + t^{2}}

De chebyshev-polynomen van de eerste soort vormen op het interval [-1,1] een stelsel orthogonale polynomen ten opzichte van de gewichtsfunctie

w (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

Er geldt dus voor

n \neq m

:

\int_{- 1}^{1} T_{n} (x) T_{m} (x) \frac{d x}{\sqrt{1 - x^{2}}} = 0

Dit is het directe gevolg van de relatie, neem

x = \cos (θ

)

\int_{0}^{π} \cos (n θ) \cos (m θ) d θ = 0

als

n \neq m

T_{n} (x) T_{m} (x) = \frac{1}{2} (T_{n + m} (x) + T_{| n - m |} (x))

De rij chebyshev-polynomen van de tweede soort $(U_{n} (x))$ is gedefinieerd door de recursieve betrekking:

U_{0} (x) = 1

U_{1} (x) = 2 x

U_{n + 1} (x) = 2 x U_{n} (x) - U_{n - 1} (x)

voor

n \geq 1

Deze recursie verschilt alleen in de beginwaarde voor $n = 1$ van de recursierelaties voor de chebyshev-polynomen van de eerste soort.

Voor $θ \neq k π, k \in ℤ$ geldt:

U_{n} (\cos θ) = \frac{\sin ((n + 1) θ)}{\sin θ}

Vanwege de ophefbare singulariteit in $k π$ geldt deze formule voor alle $θ$ .

U_{0} (x) = 1

U_{1} (x) = 2 x

U_{2} (x) = 4 x^{2} - 1

U_{3} (x) = 8 x^{3} - 4 x

U_{4} (x) = 16 x^{4} - 12 x^{2} + 1

U_{5} (x) = 32 x^{5} - 32 x^{3} + 6 x

U_{6} (x) = 64 x^{6} - 80 x^{4} + 24 x^{2} - 1

U_{7} (x) = 128 x^{7} - 192 x^{5} + 80 x^{3} - 8 x

\sum_{n = 0}^{\infty} U_{n} (x) t^{n} = \frac{1}{1 - 2 t x + t^{2}}

De chebyshev-polynomen van de tweede soort vormen op het interval [-1,1] een stelsel orthogonale polynomen ten opzichte van de gewichtsfunctie

w (x) = \sqrt{1 - x^{2}}

Er geldt dus voor

n \neq m

:

\int_{- 1}^{1} U_{n} (x) U_{m} (x) \sqrt{1 - x^{2}} d x = 0

Het chebyshev-polynoom van de tweede soort is een oplossing van de chebyshev-differentiaalvergelijking:

(1 - x^{2}) y^{″} - 3 x y^{'} + n (n + 2) y = 0

Dat is ook een sturm–liouville-differentiaalvergelijking.