Chebyshev-polynoom

Definitie

De chebyshev-polynomen van de eerste rij ${\displaystyle (T_{n}(x))}$ zijn voor ${\displaystyle n=0,1,2,3,\ldots }$ gedefinieerd als:

${\displaystyle T_{n}(\cos(\theta ))=\cos(n\theta )}$

Het zijn oplossingen van de chebyshev-differentiaalvergelijking, een sturm–liouville-differentiaalvergelijking:

${\displaystyle (1-x^{2}){{\rm {d}}^{2}y \over {\rm {d}}x^{2}}-x{{\rm {d}}y \over {\rm {d}}x}+n^{2}y=0}$

Door de substitutie

${\displaystyle {\tilde {y}}(\theta )=y(\cos(\theta ))}$

gaat deze differentiaalvergelijking over in:

${\displaystyle {\tilde {y}}''+n^{2}{\tilde {y}}=0}$,

waaruit is te zien dat

${\displaystyle {\tilde {y}}(\theta )=\cos(n\theta )}$

een oplossing is.

Eigenschappen

• De eerste tien chebyshev-polynomen van de eerste soort zijn:

${\displaystyle T_{0}(x)=1}$

${\displaystyle T_{1}(x)=x}$

${\displaystyle T_{2}(x)=2x^{2}-1}$

${\displaystyle T_{3}(x)=4x^{3}-3x}$

${\displaystyle T_{4}(x)=8x^{4}-8x^{2}+1}$

${\displaystyle T_{5}(x)=16x^{5}-20x^{3}+5x}$

${\displaystyle T_{6}(x)=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1}$

${\displaystyle T_{7}(x)=64x^{7}-112x^{5}+56x^{3}-7x}$

${\displaystyle T_{8}(x)=128x^{8}-256x^{6}+160x^{4}-32x^{2}+1}$

${\displaystyle T_{9}(x)=256x^{9}-576x^{7}+432x^{5}-120x^{3}+9x}$

• De chebyshev-polynomen van de eerste soort voldoen aan de volgende recursieve relatie:

${\displaystyle T_{0}(x)=1}$

${\displaystyle T_{1}(x)=x}$

${\displaystyle T_{n+1}(x)=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x)}$ voor ${\displaystyle n\geq 1}$

• De voortbrengende functie voor de chebyshev-polynomen van de eerste soort is:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x)t^{n}={\frac {1-tx}{1-2tx+t^{2}}}}$

• De chebyshev-polynomen van de eerste soort vormen op het interval [-1,1] een stelsel orthogonale polynomen ten opzichte van de gewichtsfunctie

${\displaystyle w(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

Er geldt dus voor ${\displaystyle n\neq m}$:

${\displaystyle \int _{-1}^{1}T_{n}(x)T_{m}(x)\ {\frac {{\rm {d}}x}{\sqrt {1-x^{2}}}}=0}$

Dit is het directe gevolg van de relatie, neem ${\displaystyle x=\cos(\theta }$)

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos(n\theta )\cos(m\theta )\ {\rm {d}}\theta =0\ }$ als ${\displaystyle \ n\neq m}$

• Uit de definitie van de polynomen als cosinus volgt:

${\displaystyle T_{n}(x)T_{m}(x)={\tfrac {1}{2}}{\big (}T_{n+m}(x)+T_{|n-m|}(x){\big )}}$

Definitie

De rij chebyshev-polynomen van de tweede soort ${\displaystyle (U_{n}(x))}$ is gedefinieerd door de recursieve betrekking:

${\displaystyle U_{0}(x)=1}$

${\displaystyle U_{1}(x)=2x}$

${\displaystyle U_{n+1}(x)=2xU_{n}(x)-U_{n-1}(x)}$ voor ${\displaystyle n\geq 1}$

Deze recursie verschilt alleen in de beginwaarde voor ${\displaystyle n=1}$ van de recursierelaties voor de chebyshev-polynomen van de eerste soort.

Voor ${\displaystyle \theta \neq k\pi ,k\in \mathbb {Z} }$ geldt:

${\displaystyle U_{n}(\cos \theta )={\frac {\sin {\big (}(n+1)\theta {\big )}}{\sin \theta }}}$

Vanwege de ophefbare singulariteit in ${\displaystyle k\pi }$ geldt deze formule voor alle ${\displaystyle \theta }$.

Eigenschappen

• De eerste acht chebyshev-polynomen van de tweede soort zijn:

${\displaystyle U_{0}(x)=1}$

${\displaystyle U_{1}(x)=2x}$

${\displaystyle U_{2}(x)=4x^{2}-1}$

${\displaystyle U_{3}(x)=8x^{3}-4x}$

${\displaystyle U_{4}(x)=16x^{4}-12x^{2}+1}$

${\displaystyle U_{5}(x)=32x^{5}-32x^{3}+6x}$

${\displaystyle U_{6}(x)=64x^{6}-80x^{4}+24x^{2}-1}$

${\displaystyle U_{7}(x)=128x^{7}-192x^{5}+80x^{3}-8x}$

• De voortbrengende functie voor de chebyshev-polynomen van de tweede soort is:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(x)\ t^{n}={\frac {1}{1-2tx+t^{2}}}}$

• De chebyshev-polynomen van de tweede soort vormen op het interval [-1,1] een stelsel orthogonale polynomen ten opzichte van de gewichtsfunctie

${\displaystyle w(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}$

Er geldt dus voor ${\displaystyle n\neq m}$:

${\displaystyle \int _{-1}^{1}U_{n}(x)U_{m}(x){\sqrt {1-x^{2}}}\ {\rm {d}}x=0}$

• Het chebyshev-polynoom van de tweede soort is een oplossing van de chebyshev-differentiaalvergelijking:

${\displaystyle (1-x^{2})y''-3xy'+n(n+2)y=0}$

Dat is ook een sturm–liouville-differentiaalvergelijking.