Cirkelspiegeling

In de vlakke meetkunde is een cirkelspiegeling een afbeelding die het inwendige en het uitwendige van een cirkel met elkaar verwisselt. De afbeelding is hoekgetrouw en is een speciale conforme afbeelding. Het is de vlakke versie van een inversie. De ruimtelijke versie is de bolspiegeling.

Definitie

Een cirkelspiegeling aan een cirkel, de inversiecirkel, met middelpunt ${\displaystyle M}$, het inversiecentrum, en straal ${\displaystyle R}$ is een afbeelding die het punt ${\displaystyle P}$, ongelijk aan het middelpunt ${\displaystyle M}$, afbeeldt op het punt ${\displaystyle P'}$ dat ligt op de lijn ${\displaystyle MP}$ en waarvoor geldt:

${\displaystyle |MP'|={\frac {R^{2}}{|MP|}}}$

${\displaystyle P}$ en ${\displaystyle P'}$ liggen dus aan weerszijden van de cirkel,

Uit de definitie volgt direct dat een cirkelspiegeling zijn eigen inverse is.

Analytische beschrijving

De cirkelspiegeling aan de cirkel ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}}$ wordt in een cartesisch coördinatensysteem met als oorsprong het middelpunt ${\displaystyle M}$ beschreven door:

${\displaystyle (x,y)\mapsto {\frac {R^{2}}{x^{2}+y^{2}}}(x,y)}$

De cirkelspiegeling heeft in poolcoördinaten ${\displaystyle r}$ en ${\displaystyle \varphi }$ de voorstelling:

${\displaystyle (r,\ \varphi )\mapsto \left({\frac {R^{2}}{r}},\varphi \right)}$

De cirkelspiegeling aan de eenheidscirkel wordt in het complexe vlak gegeven door de afbeelding:

${\displaystyle z\mapsto {\frac {1}{\overline {z}}}}$

waarin ${\displaystyle {\overline {z}}}$ de complex geconjugeerde van ${\displaystyle z}$ is. Dit is geen holomorfe functie.

Bewijs 

Noem de functie ${\displaystyle f(z)=1/z}$ in ${\displaystyle \mathbb {C} }$ en noem ${\displaystyle C}$ de eenheidscirkel in ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Merk op dat ${\displaystyle f(z)}$ een involutie is.

Door integratie door substitutie met ${\displaystyle z=e^{i\phi }}$ en ${\displaystyle \ \mathrm {d} z=\mathrm {d} e^{i\phi }=e^{i\phi }\ i\ \mathrm {d} \phi }$:

${\displaystyle {}\oint _{C}{\frac {1}{z}}\ \mathrm {d} z\ =\ \int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{e^{i\phi }}}\ e^{i\phi }\ i\ \mathrm {d} \phi \ =\ \int _{0}^{2\pi }i\ \mathrm {d} \phi \ =\ \left[\ i\ \right]_{0}^{2\pi }\ =\ 2\pi i}$

De kringintegraal van een holomorfe functie in ${\displaystyle \mathbb {C} }$ is volgens de eerste integraalstelling van Cauchy altijd 0. Het volgt uit het ongerijmde dat ${\displaystyle f(z)}$ geen holomorfe functie is.

Constructie

Met passer en liniaal

De cirkelspiegeling aan de cirkel met middelpunt ${\displaystyle M}$ voegt de punten ${\displaystyle P}$ en ${\displaystyle P'}$ aan elkaar toe.

• Voor een punt ${\displaystyle P}$ op de cirkel is ${\displaystyle P'=P}$.

• Als ${\displaystyle P}$ in het inwendige van de cirkel ligt, trekt men de lijn door ${\displaystyle P}$ loodrecht op ${\displaystyle MP}$. De raaklijnen in de snijpunten met de cirkel snijden elkaar in het punt ${\displaystyle P'}$ op het verlengde van ${\displaystyle MP}$.

• Ligt ${\displaystyle P}$ buiten de cirkel, dan construeert men met behulp van de thalescirkel de beide raaklijnen aan de cirkel. De verbindingslijn van de raakpunten snijdt de lijn ${\displaystyle MP}$ in het beeldpunt ${\displaystyle P'}$.

Eigenschappen

• Een cirkelspiegeling verwisselt het inwendige en het uitwendige van de inversiecirkel. De punten op de inversiecirkel zijn dekpunten.
• Een cirkelspiegeling is z'n eigen inverse.
• Een cirkelspiegeling keert de oriëntatie om.
• Een cirkelspiegeling is een conforme afbeelding. In het bijzonder is ze hoekgetrouw en worden figuren die elkaar raken, afgebeeld op beelden die elkaar ook raken.
• Een cirkelspiegeling beeldt een lijn door het middelpunt af op zichzelf.
• Een cirkelspiegeling beeldt lijnen die niet door het middelpunt gaan, af op cirkels.
• Een cirkelspiegeling beeldt cirkels die door het middelpunt gaan, af op lijnen door het middelpunt.
• Een cirkelspiegeling beeldt cirkels die niet door het middelpunt gaan, af op cirkels die ook niet door het middelpunt gaan.
• In het bijzonder worden cirkels die de inversiecirkel rechthoekig snijden, op zichzelf afgebeeld.

Websites

• Vladimir S. Matveev: Inversion am Kreis (Kreisspiegelung). Gedeelte uit een scriptie over lineaire algebra van de Uni Jena (pdf; 828 kB).
• (en) Inversion auf cut-the-knot
• MathWorld. Inversion.