Bury volgde van 1962 tot 1965 een opleiding tot goudsmid aan de Staatliche Zeichenakademie Hanau in Hanau. Aansluitend studeerde hij van 1965 tot 1969 aan de Fachhochschule für Gestaltung (thans de Hochschule Pforzheim) in Pforzheim. Van 1969 tot 1970 verbleef hij in Londen. In 1976 kreeg hij een beurs van het Bundesverband der Deutschen Industrie (BDI), in 1979 verbleef hij op uitnodiging van het Goethe-Institut in Australië. Van 1979 tot 1984 leefde Bury in Providence (Rhode Island) in de Verenigde Staten. Hij ontving in 1981 een beurs van de National Endowment for the Arts in Washington D.C..
Claus Bury is vooral bekend geworden door zijn grootschalige projecten, die het midden houden tussen beeldhouwkunst en architectuur. Het materiaal dat zijn voorkeur geniet is, vanwege de grote flexibiliteit, hout. Een van de opvallendste projecten in zijn oeuvre is de geheel in staal uitgevoerde Bitterfelder Bogen uit 2006. Daarnaast is Bury ook actief als sieraadontwerper.