Congruente matrices

Bewijs

Stel dat ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$ congruente ${\displaystyle n\times n}$-matrices zijn over een lichaam/veld ${\displaystyle K}$. Kies als basis de eenheidsvectoren ${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$ in ${\displaystyle V=K^{n}}$ en definieer de bilineaire vorm ${\displaystyle \alpha \colon V\times V\to K}$ door:

${\displaystyle \alpha (e_{i},e_{j})=A_{ij}}$

Dan is voor ${\displaystyle x,y\in K^{n}}$

${\displaystyle \alpha (x,y)=x^{\text{T}}\!\!Ay}$

De vectoren ${\displaystyle \{f_{1}=Pe_{1},\ldots ,f_{n}=Pe_{n}\}}$ vormen ook een basis en voor de bilineaire vorm met:

${\displaystyle \beta (f_{i},f_{j})=B_{ij}}$

geldt:

${\displaystyle \alpha (f_{i},f_{j})=f_{i}^{\text{T}}Af_{j}=(Pe_{i})^{\text{T}}A(Pe_{j})=e_{i}^{\text{T}}P^{\text{T}}\!\!APe_{j}=e_{i}^{\text{T}}Be_{j}=B_{ij}=\beta (f_{i},f_{j})}$

dus ${\displaystyle \beta =\alpha }$.

Stel omgekeerd dat de matrices ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$ beide de bilineaire vorm ${\displaystyle \lambda \colon V\times V\to K}$ representeren. Dan zijn er bases ${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$ en ${\displaystyle \{f_{1},\ldots ,f_{n}\}}$, zodat:

${\displaystyle \lambda (x,y)=x_{e}^{\text{T}}\!Ay_{e}=x_{f}^{\text{T}}\!By_{f}=(Px_{f})^{\text{T}}\!A(Py_{f})=x_{f}^{\text{T}}\!P^{\text{T}}\!\!APy_{f}}$

waarin ${\displaystyle x_{e},\,x_{f},\,y_{e},\,y_{f}}$ de getallenrijtjes zijn van de coördinaten van ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle y}$ ten opzichte van de bases ${\displaystyle \{e\}}$ en ${\displaystyle \{f\}}$, en ${\displaystyle P}$ de matrix van de basistransformatie is. Kennelijk is:

${\displaystyle B=P^{\text{T}}\!\!AP}$,

dus zijn ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$ congruent.