Direct product

In de wiskunde is het directe product van al bekende wiskundige objecten een structuur die als nieuw wiskundig object dient. In het algemeen wordt het directe product gedefinieerd als het cartesische product van de onderliggende verzamelingen samen met een gepast gedefinieerde structuur van de productverzameling. Men spreekt meer abstract over het product in de categorietheorie, die deze begrippen formaliseert.

Voorbeelden zijn de directe producten van groepen, ringen en andere algebraïsche structuren, alsook van niet-algebraïsche structuren zoals het product van topologische ruimten.

Algemeen wordt het directe product van de structuren ${\displaystyle {\mathfrak {X}}_{i}}$ gevormd door het cartesische product ${\displaystyle \prod _{i\in I}{\mathfrak {X}}_{i}}$ van de structuren met daarop een bewerking die componentsgewijs is gedefinieerd met behulp van de afzonderlijke bewerkingen.

Direct product van twee groepen

Het directe product van de groepen ${\displaystyle (G_{1},*_{1})}$ en ${\displaystyle (G_{2},*_{2})}$ is de groep ${\displaystyle (G_{1}\times G_{2},\,*)}$ gevormd door hun cartesische product met daarop de bewerking:

${\displaystyle (x_{1},x_{2})*(y_{1},y_{2})=(x_{1}*_{1}y_{1},x_{2}*_{2}y_{2})}$

Dat het directe product weer een groep is, volgt onmiddellijk uit de groepseigenschappen van de samenstellende groepen.

Als ${\displaystyle e_{1}}$ en ${\displaystyle e_{2}}$ de neutrale elementen zijn van ${\displaystyle G_{1}}$ en ${\displaystyle G_{2}}$, dan zijn de deelverzamelingen ${\displaystyle {\tilde {G_{1}}}=G_{1}\times \{e_{2}\}}$ en ${\displaystyle {\tilde {G_{2}}}=\{e_{1}\}\times G_{2}}$ ondergroepen van het directe product die isomorf zijn met ${\displaystyle G_{1}}$ en ${\displaystyle G_{2}}$.

Voor twee elementen ${\displaystyle (x_{1},e_{2})}$ en ${\displaystyle (e_{1},x_{2})}$ geldt, de indices bij de deelbewerkingen zijn weggelaten:

${\displaystyle (x_{1},e_{2})*(e_{1},x_{2})=(x_{1}*e_{1},\ e_{2}*x_{2})=(x_{1},x_{2})=(e_{1}*x_{1},\ x_{2}*e_{2})=(e_{1},x_{2})*(x_{1},e_{2})}$

Daaruit blijkt dat ${\displaystyle {\tilde {G_{1}}}}$ en ${\displaystyle {\tilde {G_{2}}}}$ normaaldelers zijn van het directe product en dat elk element ${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$ eenduidig kan worden geschreven als

${\displaystyle (x_{1},x_{2})={\tilde {x}}_{1}*{\tilde {x}}_{2}}$

met ${\displaystyle {\tilde {x}}_{1}=(x_{1},e_{2})\in {\tilde {G_{1}}}}$ en ${\displaystyle {\tilde {x}}_{2}=(e_{1},x_{2})\in {\tilde {G_{2}}}}$.

Direct product van eindig veel groepen

Het directe product van een eindig aantal groepen ${\displaystyle {\big (}(G_{i},*_{i}){\big )}_{i=1}^{n}}$ is hetzelfde als voor twee groepen. De groep ${\displaystyle (G_{1}\times \ldots \times G_{n},\,*)}$ wordt gevormd door hun cartesische product met daarop de bewerking:

${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})*(y_{1},\ldots ,y_{n})=(x_{1}*_{1}y_{1},\ldots ,x_{n}*_{n}y_{n})}$

Directe som

Er bestaat ook een directe som. In sommige gebieden worden direct product en directe som door elkaar gebruikt, in andere zijn het twee verschillende concepten.