Entier

In de wiskunde is de entier van een reëel getal ${\displaystyle x}$, meestal genoteerd als ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$, het grootste gehele getal kleiner dan of gelijk aan ${\displaystyle x}$. Onder invloed van de informatica wordt de entier ook vaak met het Engelse floor aangeduid. De entier rondt getallen anders af dan nint en ceiling.

Definitie

Voor ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ is de entier ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ gedefinieerd door:

${\displaystyle \lfloor x\rfloor \in \mathbb {Z} \ }$ en ${\displaystyle \ x-1<[x]\leq x}$

Andere mogelijk definities van de entier zijn:

${\displaystyle \lfloor x\rfloor =\max \ \{m\in \mathbb {Z} \mid m\leq x\}}$

en

${\displaystyle \lfloor x\rfloor =m\ \Leftrightarrow \ m\leq x<m+1}$, waarbij ${\displaystyle m\in \mathbb {Z} }$.

Voorbeelden

${\displaystyle \lfloor 2{,}9\rfloor =2}$

${\displaystyle \lfloor -2\rfloor =-2}$

${\displaystyle \lfloor -2{,}3\rfloor =-3}$

Grafiek

De grafiek van de functie entier ziet er als volgt uit:

Vanwege deze vorm wordt de entier ook de trapfunctie genoemd.

Eigenschappen

Bij het optellen geldt:

${\displaystyle \lfloor x+y\rfloor =\lfloor x+y-\lfloor x\rfloor -\lfloor y\rfloor \rfloor +\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor }$

Met modulair rekenen is:

${\displaystyle x\!\!\!\mod y=x-y\left\lfloor {\frac {x}{y}}\right\rfloor }$

Andere afrondingsfuncties

De entier lijkt veel op de ceiling ${\displaystyle \lceil \cdot \rceil }$ en nint.

• ${\displaystyle \lfloor -x\rfloor =-\lceil x\rceil }$
• voor ${\displaystyle x\in \mathbb {Z} }$ is: ${\displaystyle \lfloor x\rfloor =\lceil x\rceil }$
• en voor ${\displaystyle x\notin \mathbb {Z} }$ is: ${\displaystyle \lfloor x\rfloor =\lceil x-1\rceil =\operatorname {nint} (x-{\tfrac {1}{2}})}$

Websites

• H Hofstede. Afkappen.