Euler-polynoom

In de wiskunde zijn de euler-polynomen de polynomen ${\displaystyle {\rm {E}}_{n}}$, impliciet gedefinieerd door hun voortbrengende functie:

${\displaystyle {\frac {2e^{xt}}{e^{t}+1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\rm {E}}_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}}$

De eerste zeven zijn:

${\displaystyle n}$	${\displaystyle {\rm {E}}_{n}(x)}$
0	${\displaystyle 1}$
1	${\displaystyle x-{\tfrac {1}{2}}}$
2	${\displaystyle x^{2}-x=x(x-1)}$
3	${\displaystyle x^{3}-{\tfrac {3}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{4}}=(x-{\tfrac {1}{2}})(x^{2}-x-{\tfrac {1}{2}})}$
4	${\displaystyle x^{4}-2x^{3}+x=x(x-1)(x^{2}-x-1)}$
5	${\displaystyle x^{5}-{\tfrac {5}{2}}x^{4}+{\tfrac {5}{2}}x^{2}-{\tfrac {1}{2}}=(x-{\tfrac {1}{2}})(x^{2}-x-1)^{2}}$
6	${\displaystyle x^{6}-3x^{5}+5x^{3}-3x=x(x-1)(x^{4}-2x^{3}-2x^{2}+3x+3)}$

Recursieve definitie

De polynomen kunnen ook recursief worden gedefinieerd door:

${\displaystyle {\rm {E}}_{0}(x)=1}$

en voor ${\displaystyle n=1,2,\ldots }$

${\displaystyle {\rm {E}}_{2n-1}(x)=\int _{1/2}^{x}(2n-1){\rm {E}}_{2n-2}(t)\ {\rm {d}}t}$

${\displaystyle {\rm {E}}_{2n}(x)=\int _{0}^{x}2n{\rm {E}}_{2n-1}(t)\ {\rm {d}}t}$

Eigenschappen

Euler-polynomen zijn, afgezien van het teken, symmetrisch om het punt ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$, dat wil zeggen:

${\displaystyle {\rm {E}}_{n}({\tfrac {1}{2}}+x)=(-1)^{n}{\rm {E}}_{n}({\tfrac {1}{2}}-x)}$

Voor de waarden in de punten ${\displaystyle x={\tfrac {1}{2}}}$ en ${\displaystyle x=0}$ geldt:

${\displaystyle {\rm {E}}_{n}({\tfrac {1}{2}})=2^{-n}E_{n}}$

en

${\displaystyle {\rm {E}}_{n-1}(0)=(2^{n+1}-2){\frac {B_{n}}{n}},}$

waarin ${\displaystyle (E_{n})}$ de eulergetallen zijn en ${\displaystyle (B_{n})}$ de bernoulligetallen.

Er geldt de identiteit:

${\displaystyle {\rm {E}}_{n}(x+1)+{\rm {E}}_{n}(x)=2x^{n}}$

Voor ${\displaystyle n>5}$ heeft het Euler-polynoom ${\displaystyle {\rm {E}}_{n}}$ minder dan ${\displaystyle n}$ reële nulpunten. Weliswaar heeft ${\displaystyle {\rm {E}}_{5}}$ vijf nulpunten, waarvan er twee dubbel zijn, maar ${\displaystyle {\rm {E}}_{6}}$ heeft alleen de twee nulpunten 0 en 1.