Even (functie)

Een wiskundige functie ${\displaystyle f}$ heet even als:

${\displaystyle f(-x)=f(x)}$

We zien dat de grafiek van de functie symmetrisch is ten opzichte van de y-as. Dat wil zeggen dat als men de grafiek van ${\displaystyle f}$ spiegelt ten opzichte van de y-as, men dezelfde grafiek krijgt.

Het begrip kan gegeneraliseerd worden naar een willekeurig referentiepunt ${\displaystyle a.}$ Indien

${\displaystyle f(a-x)=f(a+x)}$

is de grafiek symmetrisch ten opzichte van de verticale lijn ${\displaystyle x=a.}$ Zo heeft de sinus een even symmetrie tegenover ${\displaystyle x=\pi /2.}$

Voorbeelden

• ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$, want ${\displaystyle f(-x)=(-x)^{2}=x^{2}=f(x)}$
• ${\displaystyle f(x)=\cos(x)}$, want ${\displaystyle f(-x)=\cos(-x)=\cos(x)=f(x)}$
• ${\displaystyle f(x)=x\,sin(x)}$, want ${\displaystyle f(-x)=(-x)\,\sin(-x)=(-x)\,(-sin(x))=x\,sin(x)=f(x)}$
• Elk product van twee even functies, want als ${\displaystyle f(-x)=f(x)}$ en ${\displaystyle g(-x)=g(x),}$ is ${\displaystyle f(-x)g(-x)=f(x)g(x)}$
• Elk product van twee oneven functies, want als ${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$ en ${\displaystyle g(-x)=-g(x),}$ is ${\displaystyle f(-x)g(-x)=(-f(x))(-g(x))=f(x)g(x)}$

Eigenschappen

Elke willekeurige functie ${\displaystyle f}$ is op unieke wijze te schrijven als de som van een even functie ${\displaystyle f^{+}}$ en een oneven functie ${\displaystyle f^{-}.}$ Deze functies zijn:

• ${\displaystyle f^{+}(x)={\tfrac {1}{2}}(f(x)+f(-x))}$
• ${\displaystyle f^{-}(x)={\tfrac {1}{2}}(f(x)-f(-x))}$

Zie ook

• Oneven (functie)