Functieruimte

In de wiskunde is een functieruimte een verzameling van een bepaalde soort functies van een verzameling ${\displaystyle X}$ naar een verzameling ${\displaystyle Y}$. Het wordt een ruimte genoemd, omdat het in vele toepassingen, een topologische ruimte, een vectorruimte of beide is.

Voorbeelden

Functieruimten komen in verschillende deelgebieden van de wiskunde voor:

• In de verzamelingenleer kan de machtsverzameling van een verzameling ${\displaystyle X}$ worden geïdentificeerd met de verzameling van alle functies van ${\displaystyle X}$ naar het interval ${\displaystyle (0,1)}$, weergegeven door ${\displaystyle 2^{X}}$. Meer in het algemeen wordt de verzameling van functies ${\displaystyle X\to Y}$ aangeduid door ${\displaystyle Y^{X}}$.

• In de lineaire algebra is de verzameling van alle lineaire transformaties van een vectorruimte ${\displaystyle V}$ naar een andere vectorruimte ${\displaystyle W}$, over hetzelfde lichaam/veld, zelf eveneens een vectorruimte. Dit geldt ook voor verzamelingen van functies van een verzameling ${\displaystyle V}$ naar een vectorruimte ${\displaystyle W}$, mits de verzameling functies gesloten is ten aanzien van optelling en scalaire vermenigvuldiging. Het kan bijvoorbeeld gaan om de ${\displaystyle n}$-dimensionale ruimte van polynomen tot en met graad ${\displaystyle n-1}$, of de aftelbaar-oneindigdimensionale ruimte van alle polynomen, of de overaftelbaardimensionale ruimte van alle reële functies, steeds op een vast reëel interval of de hele reële ruimte.

• In de functionaalanalyse geldt hetzelfde voor continue lineaire transformaties, waaronder topologieën op vectorruimten in het bovenstaande, en veel van de belangrijkste voorbeelden zijn functieruimten die een topologie met zich mee dragen; onder de meest bekende voorbeelden zijn onder meer de hilbertruimten en de banachruimten.

• In de functionaalanalyse wordt de verzameling van alle functies van de natuurlijke getallen naar een verzameling ${\displaystyle X}$ een rijruimte genoemd. De rijruimte bestaat uit de verzameling van alle mogelijke rijen van elementen van ${\displaystyle X}$.