Functor

In de categorietheorie, een onderdeel van de wiskunde, is een functor een speciaal soort afbeelding tussen categorieën.

Functors werden voor het eerst onderzocht in de algebraïsche topologie, waar algebraïsche objecten (zoals de fundamentaalgroep) worden gekoppeld aan topologische ruimten, en algebraïsche homomorfismen worden gekoppeld aan continue afbeeldingen. Tegenwoordig worden functors in heel de moderne wiskunde gebruikt om verschillende categorieën aan elkaar te relateren. Het woord "functor" werd door wiskundigen geleend van de filosoof Carnap [ Mac Lane, blz. 30]. Carnap gebruikte de term "functor" in relatie tot functies op dezelfde wijze zoals predicaten zich verhouden tot eigenschappen. [Zie Carnap, The Logical Syntax of Language (De logische syntaxis van de taal), blz.13-14, 1937, Routledge & Kegan Paul.] Voor Carnap was een functor, dit in tegenstelling tot het moderne gebruik in de wiskundige categorietheorie, een taalkundige term. Voor categorietheoretici staat een functor voor een bepaald soort functie.

Definitie

Een (covariante) functor is een structuurbehoudende afbeelding tussen categorieën. Een functor ${\displaystyle F}$ van de categorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ naar de categorie ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ bestaat uit

• een afbeelding ${\displaystyle F:\operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})\to \operatorname {Ob} ({\mathcal {D}})}$ van de objecten van ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ naar de objecten van ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$
• afbeeldingen ${\displaystyle F\colon \operatorname {Mor} _{\mathcal {C}}(X,Y)\to \operatorname {Mor} _{\mathcal {D}}(F(X),F(Y))}$ tussen de morfismen van elk tweetal objecten ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ van ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$.

De afbeeldingen tussen de morfismen moeten:

• compatibel zijn met de samenstelling, dus ${\displaystyle F(f\circ g)=F(f)\circ F(g)}$.
• de identieke morfismen behouden: ${\displaystyle F(\operatorname {id} _{X})=\operatorname {id} _{F(X)}}$.

En contravariante functor (of cofunctor) van ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ naar ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ is een functor van de tegenovergestelde categorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }}$ naar ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$. Equivalent kan een cofunctor beschreven worden als een functor, met dit verschil:

• de afbeeldingen tussen de morfismen gaan van ${\displaystyle \operatorname {Mor} _{\mathcal {C}}(X,Y)}$ naar ${\displaystyle \operatorname {Mor} _{\mathcal {D}}(F(Y),F(X))}$.
• de compatibiliteit met de samenstelling luidt ${\displaystyle F(f\circ g)=F(g)\circ F(f)}$.

Een functor ${\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}$ van een categorie naar zich zelf heet endofunctor.

Als ${\displaystyle {\mathcal {C}},{\mathcal {D}},{\mathcal {E}}}$ categorieën zijn en ${\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$ en ${\displaystyle G\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {E}}}$ co- of contravariante functors, dan is de samenstelling ${\displaystyle GF}$, die formeel gedefinieerd is door

${\displaystyle (G\circ F)(X)=G(F(X)),\quad (G\circ F)(f)=G(F(f))}$

voor objecten ${\displaystyle X}$ en Morphismen ${\displaystyle f}$, een functor ${\displaystyle {\mathcal {C}}\to {\mathcal {E}}}$. De samenstelling ${\displaystyle GF}$ is precies dan covariant, als ${\displaystyle F}$ en ${\displaystyle G}$ beide co- of beide contravariant zijn; anders contravariant.

Zie ook

Referenties

• Mac Lane, Saunders. Categories for the Working Mathematician (Categorieën voor de werkende wiskundige), Graduate Texts in Mathematics 5, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1997, ISBN 0-387-98403-8