Differentiaalvergelijking
De differentiaalvergelijking van Hermite is:
.
Daarin is 
de orde van de vergelijking, een natuurlijk getal.
Deze differentiaalvergelijking vindt toepassing in de kansrekening.
Er is ook een andere vorm, die in de natuurkunde meer gebruikelijk is. Deze vorm wordt hieronder apart besproken.
De bijbehorende hermite-polynomen zijn gedefinieerd door:
De hermite-polynomen kunnen worden gezien als een bijzonder geval van de laguerre-polynomen.
De eerste acht hermite-polynomen zijn:
Recursie
De hermite-polynomen voldoen aan de volgende differentievergelijking:
,
maar ook aan de vergelijking:
,
Orthogonaliteit
De hermite-polynomen zijn orthogonaal met betrekking tot het inproduct:
,
dus met gewichtsfunctie:
,
op een factor na de kansdichtheid van de normale verdeling.
Er geldt:
waarin 
de kronecker-delta is, dus gelijk aan 1 als 
en anders 0.
Andere vorm
De alternatieve vorm van de differentiaalvergelijking van Hermite is:
.
De bijbehorende hermite-polynomen zijn gedefinieerd door:
Deze tweede definitie komt niet geheel met de eerste overeen, de gevonden hermite-polynomen zijn daarom ook iets anders.
Recursie
De hermite-polynomen staan in de volgende recursieve relatie:
Zij voldoen ook aan:
Orthogonaliteit
De hermite-polynomen vormen met betrekking tot het inproduct weer een orthogonaal stelsel:
,
dus met gewichtsfunctie:
Er geldt:
