Eenheidsmatrix

In de lineaire algebra is een eenheidsmatrix of identiteitsmatrix een vierkante matrix, waarvan de hoofddiagonaal uitsluitend uit enen bestaat en alle elementen die niet op de hoofddiagonaal liggen nul zijn. De eenheidsmatrix staat in de lineaire algebra gelijk aan de identieke afbeelding en wordt genoteerd met het symbool ${\displaystyle \mathbf {I} }$.

Definitie

Een eenheidsmatrix, genoteerd als ${\displaystyle \mathbf {I} }$, van identity, identiteit, is een n×n-matrix waarvoor geldt:

${\displaystyle \mathbf {I} _{ii}=1\ }$ en ${\displaystyle \mathbf {I} _{ij}=0\ }$ voor ${\displaystyle \ i\neq j}$

Een andere notatie hiervoor is ${\displaystyle \mathbf {I} _{ij}=\delta _{ij}}$, de kroneckerdelta.

Een eenheidsmatrix is een diagonaalmatrix, dus ook een symmetrische matrix.

Voorbeelden

Voorbeelden van eenheidsmatrices zijn achtereenvolgens de ${\displaystyle 1\times 1}$-, ${\displaystyle 2\times 2}$-, ${\displaystyle 3\times 3}$- en ${\displaystyle n\times n}$-eenheidsmatrix:

${\displaystyle \mathbf {I} _{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ \mathbf {I} _{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ \mathbf {I} _{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \ldots ,\ \mathbf {I} _{n}={\begin{bmatrix}1&0&\ldots &0\\0&1&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &1\end{bmatrix}}}$

Eigenschappen

Voor elke identiteitsmatrix ${\displaystyle \mathbf {I} }$ gelden de volgende elementaire eigenschappen:

• ${\displaystyle \mathbf {AI} =\mathbf {IA} =\mathbf {A} }$
• ${\displaystyle \mathbf {I} ^{2}=\mathbf {I} }$
• ${\displaystyle \mathbf {I} ^{-1}=\mathbf {I} }$
• ${\displaystyle \mathbf {I} ^{T}=\mathbf {I} }$
• ${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}\mathbf {A} =\mathbf {I} }$

De eenheidsmatrix is in alle dimensies de enige idempotente matrix, die regulier is.