Machins formule

Machins formule is een uitdrukking voor het getal ${\displaystyle \pi }$ (pi), opgesteld in 1706 door de Britse hoogleraar sterrenkunde John Machin, waarmee hij ${\displaystyle \pi }$ in 100 decimalen berekende. De formule luidt:

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}$

Afleiding

Voor de tangens van de som van twee hoeken geldt:

${\displaystyle \tan(x+y)={\frac {\tan(x)+\tan(y)}{1-\tan(x)\tan(y)}}}$

Daaruit volgt:

${\displaystyle \arctan {\frac {a}{m}}+\arctan {\frac {b}{n}}=\arctan {\frac {an+bm}{mn-ab}}}$,

mits

${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<\arctan {\frac {a}{m}}+\arctan {\frac {b}{n}}<{\frac {\pi }{2}}}$

Toepassing levert:

${\displaystyle 2\arctan {\frac {1}{5}}=\arctan {\frac {1}{5}}+\arctan {\frac {1}{5}}=\arctan {\frac {5+5}{25-1}}=\arctan {\frac {5}{12}}}$

en

${\displaystyle 4\arctan {\frac {1}{5}}=\arctan {\frac {5}{12}}+\arctan {\frac {5}{12}}=\arctan {\frac {60+60}{144-25}}=\arctan {\frac {120}{119}}}$,

zodat

${\displaystyle 4\arctan {\frac {1}{5}}-{\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{1}}=\arctan {\frac {120}{119}}+\arctan {\frac {-1}{1}}=}$

${\displaystyle =\arctan {\frac {120-119}{119+120}}=\arctan {\frac {1}{239}}}$

Machin gebruikte de taylorreeksontwikkeling van de arctangens, die zeer recentelijk ontwikkeld was, voor zijn berekening van ${\displaystyle \pi }$.

Referenties