Thames maakte in november 2017 op tienjarige leeftijd zijn acteerdebuut in de korte filmAfter Omelas, waarin hij de rol van Liam vertolkte. Twee jaar later, in november 2019, maakte Thames zijn debuut als televisieacteur in de Apple TV+-serie For All Mankind. Hierna was hij te zien in de televisieseries Evel en Walker.
In september vertolkte Thames voor het eerst een hoofdrol in een langspeelfilm, toen hij de rol van Finney vertolkte in de horrorfilm The Black Phone. Hij hernam deze rol tevens in de vervolgfilm Black Phone 2 uit 2025. In 2024 had Thames grote rollen in de Netflix-film Incoming en de bioscoopfilm Monster Summer.
Thames was in 2025 te zien in de bioscoopfilm How to Train Your Dragon, waarin hij de hoofdrol vertolkte van Hiccup Horrendous Haddock III. Datzelfde jaar vertolkte Thames tevens de hoofdrol in de romantische dramafilm Regretting You, gebaseerd op het gelijknamige boek van schrijfster Colleen Hoover.
In 2026 vertolkte Thames de hoofdrol van Sheridan Kimberley in de komediefilm Idiots.