Nevenklasse

In de groepentheorie, een onderdeel van de abstracte algebra, is een nevenklasse binnen een groep G een deelverzameling g∗H of H∗g van G, die bestaat uit de producten van een element g∈G en de elementen van een ondergroep H van G. Hierbij stelt ∗ de bewerking voor die op de groep (G,∗) is gedefinieerd. De nevenklasse g∗H van g ten opzichte van H heet linkernevenklasse en de nevenklasse H∗g rechternevenklasse. De verschillende nevenklassen van H zijn onderling disjunct en vormen een partitie van G. Het aantal elementen in een nevenklasse g∗H of H∗g is gelijk aan het aantal elementen van de ondergroep H zelf.

Definitie

Zij G een groep, H een ondergroep van G en g een element van G.

De linkernevenklasse gH van g ten opzichte van H is de verzameling producten van elementen van H, links samengesteld met g:

g∗H={g∗h∣h∈H}.

De verzameling van alle linkernevenklassen van H in G noteert men gewoonlijk als G/H.

De rechternevenklasse Hg van g ten opzichte van H is de verzameling producten van elementen van H, rechts samengesteld met g:

H∗g={h∗g∣h∈H}.

De verzameling van alle rechternevenklassen van H in G noteert men gewoonlijk als G∖H

Equivalentierelatie

Nevenklassen zijn equivalentieklassen. Twee elementen a en b van de groep G zijn equivalent als ze tot dezelfde nevenklasse gH behoren.

a∼b als voor een g∈G: a,b∈gH

Dit komt erop neer dat er een h∈H is zodanig dat:

b=ah

Alternatief geldt:

a∼b⟺aH=bH⟺b∈aH⟺a−1b∈H

De linkernevenklassen zijn dus de equivalentieklassen van deze relatie.

Commutativiteit

Linker- en rechternevenklassen zijn in een commutatieve groep gelijk, maar kunnen in een groep die niet commutatief is verschillen. De normalisator van H in G is de verzameling elementen van G waarvoor de betrokken linker- en rechternevenklasse identiek zijn.

Als de linker-en rechternevenklassen van een ondergroep H identiek zijn voor alle elementen van G, heet H een normaaldeler van G en spreekt men kortweg van nevenklassen. In dat geval kan G/H ook uitgerust worden met een groepsbewerking en wordt de factorgroep van G over H genoemd.

In een commutatieve groep zijn alle ondergroepen normaaldelers.

Voorbeelden

Voorbeeld in een abelse groep

Beschouw de veelvouden van 8 als ondergroep van de gehele getallen met de gewone optelling:

8ℤ={…,−16,−8,0,8,16,24,…}

De nevenklasse van het getal 35 bestaat uit alle veelvouden van 8, plus 3:

8ℤ+35=8ℤ+3={…,−5,3,11,19,27,35,…}

Het is de restklasse van 3 (en van 35) bij deling door 8.

Voorbeeld in een niet-abelse groep

Beschouw de groep SO(3) van de rotaties van de reële driedimensionale ruimte. Dit is een lie-groep, maar in dit voorbeeld speelt alleen de algebraïsche structuur een rol. Beschouw een orthonormaal coördinatenstelsel (x,y,z) en noem H de ondergroep van SO(3) die bestaat uit de rotaties om de z-as. Noem r de rotatie over een rechte hoek om de y-as die de z-as op de x-as afbeeldt, met behoud van de oriëntatie (de positieve zijde van de z-as wordt op de positieve zijde van de x-as afgebeeld).

De linkernevenklasse rH bestaat uit alle rotaties die de z-as met behoud van oriëntatie op de x-as afbeelden. De rechternevenklasse Hr bestaat uit alle rotaties die de x-as met omkering van de oriëntatie op de z-as afbeelden. Beide nevenklassen zijn van elkaar verschillend en hebben zelfs maar één element gemeenschappelijk, namelijk r zelf.

De ondergroep H is geen normaaldeler van SO(3). De normalisator van H in SO(3) is H zelf.

Cardinaliteit

De samenstelling met een vast element g is een permutatie van G, dus alle nevenklassen van H hebben evenveel elementen als H zelf.

Voor eindige groepen geldt de stelling van Lagrange over de orde, het aantal elementen, van een ondergroep:

De orde van G is het product van de orde van H en het aantal nevenklassen van H in G.

Dit is altijd, dus wanneer de linker- en rechternevenklassen samenvallen, maar ook wanneer zij verschillend zijn.