Punt van Fermat

In de meetkunde is het punt van Fermat of het punt van Torricelli of het eerste isogone centrum, de oplossing van het probleem van een punt ${\displaystyle F}$ binnen een driehoek ${\displaystyle ABC}$, zo dat de totale afstand van de drie hoekpunten naar dit punt ${\displaystyle F}$ binnen de driehoek zo klein mogelijk is. Het probleem wordt zo genoemd omdat Torricelli het probleem, gesteld door Fermat, heeft opgelost. Het punt van Fermat is een driehoekscentrum en heeft kimberlingnummer ${\displaystyle X(13)}$. Het punt van Fermat vormt ook de oplossing van het Steinerboomprobleem met drie punten.

Deze vraag werd voorgelegd door Fermat als een uitdaging aan Torricelli. Hij loste het op ongeveer dezelfde manier op als Fermat, maar gebruikte de snijpunten van de omgeschreven cirkels van de drie gelijkzijdige driehoeken. Zijn leerling Viviani publiceerde de oplossing in 1659.

Constructie

Het vinden van het punt van Fermat/Torricelli:

1. Construeer drie gelijkzijdige driehoeken buiten de drie zijden van de gegeven driehoek ${\displaystyle ABC}$.
2. Trek een lijn door elk nieuwe hoekpunt van de gelijkzijdige driehoeken en het overstaande hoekpunt van driehoek ${\displaystyle ABC}$.
3. Het snijpunt van de drie lijnen is het punt van Fermat.

In het geval dat de grootste hoek van de driehoek groter is dan 120° is de oplossing het hoekpunt met die grote hoek.

Eigenschappen

• In het geval dat de grootste hoek van de driehoek kleiner is dan 120°, is het totale afstand van het punt naar de drie hoekpunten minimaal.
• De binnenste hoeken, gevormd door dit punt: ${\displaystyle \angle AFB}$, ${\displaystyle \angle BFC}$ en ${\displaystyle \angle CFA}$ zijn alle gelijk aan 120°.
• De omgeschreven cirkels van de drie gebruikte gelijkzijdige driehoeken snijden elkaar in dit punt.
• De driehoek, gevormd door de centra van de drie gelijkzijdige driehoeken in de constructie is volgens de stelling van Napoleon ook een gelijkzijdige driehoek en het centrum van de omgeschreven cirkel van deze driehoek is het punt van Fermat van de originele driehoek.
• Het punt van Fermat ligt op de hyperbool van Kiepert en de cirkel van Lester.

Coördinaten

Barycentrische coördinaten van het punt van Fermat en het tweede isogone centrum zijn

${\displaystyle \left({\frac {1}{S_{A}\pm S_{\frac {\pi }{3}}}},{\frac {1}{S_{B}\pm S_{\frac {\pi }{3}}}},{\frac {1}{S_{C}\pm S_{\frac {\pi }{3}}}}\right)=}$

en

${\displaystyle \left(a\csc \left(A\pm {\frac {\pi }{3}}\right),b\csc \left(B\pm {\frac {\pi }{3}}\right),c\csc \left(C\pm {\frac {\pi }{3}}\right)\right)}$,

de + geeft het punt van Fermat.

De isogonale verwanten van het punt van Fermat en het tweede isogone centrum zijn de isodynamische punten.

Websites

• Mesut Özil and the Fermat point.

Zie de categorie Fermat point van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.