Quaternionengroep

In de groepentheorie is de quaternionengroep een eindige groep, die niet commutatief is en waarvan de orde 8 is. De quaternionengroep wordt vaak met ${\displaystyle Q}$ aangeduid en heeft de volgende acht elementen:

${\displaystyle Q=\{1,-1,\ i,-i,\ j,-j,\ k,-k\ \}}$

De quaternionengroep wordt met deze acht elementen als multiplicatieve groep geschreven, waarin 1 het neutrale element is, ${\displaystyle (-1)^{2}=1}$ en ${\displaystyle (-1)a=a(-1)=-a}$ voor alle ${\displaystyle a}$ in ${\displaystyle Q}$. De andere vermenigvuldigingsregels zijn uit de volgende relaties af te leiden:

${\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1}$

De cayley-tabel of groepentabel voor ${\displaystyle Q}$ is de volgende:

	1	−1	i	−i	j	−j	k	−k
1	1	−1	i	−i	j	−j	k	−k
−1	−1	1	−i	i	−j	j	−k	k
i	i	−i	−1	1	k	−k	−j	j
−i	−i	i	1	−1	−k	k	j	−j
j	j	−j	−k	k	−1	1	i	−i
−j	−j	j	k	−k	1	−1	−i	i
k	k	−k	j	−j	−i	i	−1	1
−k	−k	k	−j	j	i	−i	1	−1

Merk op dat de quaternionengroep niet commutatief is. Bijvoorbeeld ${\displaystyle ij=-ji}$. ${\displaystyle Q}$ is een Hamiltoniaanse groep is: iedere ondergroep van ${\displaystyle Q}$ is er een normaaldeler van, maar de groep is niet commutatief. Iedere Hamiltoniaanse groep bevat een kopie van ${\displaystyle Q}$.

Quaternionen

• De quaternionengroep wordt hier dus als een multiplicatieve groep beschreven. Het is net zoals het mogelijk is de complexe getallen ${\displaystyle \mathbb {C} }$ te definiëren door aan het lichaam van de reële getallen ${\displaystyle \mathbb {R} }$ de imaginaire eenheid ${\displaystyle i}$ toe te voegen, mogelijk een nieuw lichaam te definiëren door aan ${\displaystyle \mathbb {R} }$ de drie elementen ${\displaystyle i,j}$ en ${\displaystyle k}$ van de quaternionenengroep toe te voegen. Dit lichaam wordt met ${\displaystyle \mathbb {H} }$ aangegeven. De dimensie van ${\displaystyle \mathbb {H} }$ over ${\displaystyle \mathbb {R} }$ is vier en de getallen in ${\displaystyle \mathbb {H} }$ worden quaternionen genoemd.