Rieselgetal

Een rieselgetal is een oneven getal ${\displaystyle k}$ met de eigenschap dat voor alle gehele getallen ${\displaystyle n}$ het getal ${\displaystyle k\cdot 2^{n}-1}$ geen priemgetal is. De Zweed Hans Riesel bewees in 1956 dat er oneindig veel van dergelijke getallen bestaan. Het getal 509 203, het kleinst bekende, is ook door hem gevonden. Als je hierbij een positief veelvoud van 11 184 810 optelt, krijg je weer een rieselgetal. Rieselgetallen vertonen een grote overeenkomst met Sierpińskigetallen, waarvoor ${\displaystyle k\cdot 2^{n}+1}$ voor alle ${\displaystyle n}$ geen priemgetal is.

Het bewijs dat een getal een rieselgetal is, gaat met behulp van een covering-set. Dat is een verzameling van priemgetallen die bij een rieselgetal ${\displaystyle k}$ hoort, zo dat voor iedere ${\displaystyle n}$ geldt dat ${\displaystyle k\cdot 2^{n}-1}$ door een van deze getallen kan worden gedeeld. Zo heeft bijvoorbeeld ${\displaystyle 509\ 203}$ de covering-set {3, 5, 7, 13, 17, 241}, want voor iedere ${\displaystyle n}$ is er een van deze getallen zodat ${\displaystyle 509\ 203\times 2^{n}-1}$ daar door kan worden gedeeld. Er geldt namelijk:

${\displaystyle 509\ 203\times 2^{0}-1}$ kan door 3 worden gedeeld,

${\displaystyle 509\ 203\times 2^{1}-1}$ kan door 5 worden gedeeld,

${\displaystyle 509\ 203\times 2^{2}-1}$ kan door 3 worden gedeeld,

${\displaystyle 509\ 203\times 2^{3}-1}$ kan door 241 worden gedeeld,

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle 509\ 203\times 2^{23}-1}$ kan door 7 worden gedeeld,.

Nu is ${\displaystyle 509\ 203\times 2^{24}\ \equiv \ 509\ 203\times 2^{0}\ \mathrm {mod} \ {5\ 592\ 405}}$, met 5 592 405 het product van de getallen in de covering-set. Vanwege de congruentie kan ${\displaystyle n}$ worden gereduceerd ${\displaystyle \mathrm {mod} \ 24}$. Dus is bewezen dat 509 203 een rieselgetal is.

De enige bekende vijf rieselgetallen kleiner dan een miljoen zijn:

${\displaystyle 509\ 203\times 2^{n}-1}$ met covering-set {3, 5, 7, 13, 17, 241}

${\displaystyle 762\ 701\times 2^{n}-1}$ met covering-set {3, 5, 7, 13, 17, 241}

${\displaystyle 777\ 149\times 2^{n}-1}$ met covering-set {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73}

${\displaystyle 790\ 841\times 2^{n}-1}$ met covering-set {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73}

${\displaystyle 992\ 077\times 2^{n}-1}$ met covering-set {3, 5, 7, 13, 17, 241}

Het rieselprobleem bestaat uit het bepalen van het kleinste rieselgetal. Er wordt beweerd dat dit 509 203 is. Om dit te bewijzen moet bij alle oneven getallen ${\displaystyle k<509\ 203}$ een getal ${\displaystyle n}$ te worden gezocht, zodat ${\displaystyle k\cdot 2^{n}-1}$ een priemgetal is. Er waren aan het einde van 2022 nog 41 getallen over. Riesel Sieve is een project dat met distributed computing wordt uitgevoerd en waaraan iedereen kan deelnemen met een eigen computer. De computer downloadt een programma dat priemgetallen gaat zoeken van de vorm ${\displaystyle k\cdot 2^{n}-1}$ voor de getallen ${\displaystyle k}$ die nog over zijn. Het project is nu bij PrimeGrid ondergebracht.

Websites

• rij A101036 in OEIS
• W Keller. The Riesel Problem: Definition and Status, 15 oktober 2014.