Veeltermring

In de ringtheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een veeltermring een verzameling van veeltermen in een of meer veranderlijken met coëfficiënten in een ring.

Zij ${\displaystyle R}$ een ring. Een veelterm ${\displaystyle f}$ met coëfficiënten ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}}$ in ${\displaystyle R}$ is een uitdrukking

${\displaystyle f(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots +a_{n}x^{n}}$

Het getal ${\displaystyle n}$ heet de graad van ${\displaystyle f}$. Als de coëfficiënt ${\displaystyle a_{n}=1}$ heet de veelterm monisch, of moniek.

De verzameling ${\displaystyle R[x]}$ van alle veeltermen over ${\displaystyle R}$ kan worden voorzien van een optelling en een vermenigvuldiging. Met deze bewerkingen is ${\displaystyle R[x]}$ een ring.

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}+\sum _{i=0}^{m}b_{i}x^{i}=\sum _{i=0}^{\max(n,m)}(a_{i}+b_{i})x^{i}}$

waarin de veelterm indien nodig met termen met coëfficiënt 0 wordt aangevuld en

${\displaystyle \left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\right)\left(\sum _{j=0}^{m}b_{j}x^{j}\right)=\sum _{k=0}^{n+m}\left(\sum _{i+j=k}a_{i}b_{j}\right)x^{k}}$

Het quotiënt van twee veeltermen is een rationale functie. Dat is in het algemeen geen veelterm, dus vormt de verzameling veeltermen wel een ring, maar geen lichaam/veld.

Eigenschappen

• Als ${\displaystyle R}$ een lichaam is, dan is ${\displaystyle R[x]}$ zelfs een euclidisch domein en dus een hoofdideaaldomein.
• Als ${\displaystyle R}$ een uniek factorisatiedomein is, dan is ${\displaystyle R[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ dat ook.
• Als ${\displaystyle R}$ een integriteitsdomein is, dan is ${\displaystyle R[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ dat ook.
• Als ${\displaystyle R}$ Noethers is, dan is ${\displaystyle R[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ dat ook, de basisstelling van Hilbert.
• Als ${\displaystyle R}$ een commutatieve ring is, dan is ${\displaystyle R[x]}$ dat ook, en een algebra over ${\displaystyle R}$.
• Elke commutatieve ring die tegelijkertijd een eindig voortgebrachte algebra over een veld is, kan als een quotiëntring worden geschreven, als het quotiënt van een veeltermring en het ideaal ervan.