Delmengde

En delmengde av en mengde ${\displaystyle B}$ er i mengdelære en mengde ${\displaystyle A}$ som er inneholdt fullt og helt i mengden ${\displaystyle B.}$ Alle elementene i ${\displaystyle A}$ er altså også elementer i ${\displaystyle B}$. Dette skrives ${\displaystyle A\subseteq B}$ og ${\displaystyle A\subset B}$.

Enhver mengde er en delmengde av seg selv. ${\displaystyle B}$ er en ekte delmengde dersom ${\displaystyle A}$ inneholder elementer som ikke er i ${\displaystyle B}$.

Når ${\displaystyle A}$ er en delmengde i ${\displaystyle B}$, så er ${\displaystyle B}$ en overmengde. Mengden av alle mulige delmengder til en mengde ${\displaystyle B}$ kalles potensmengden til ${\displaystyle B}$.

Formell definisjon

${\displaystyle A}$ er en delmengde til ${\displaystyle B}$ hvis og bare hvis

${\displaystyle (\forall x\in B)(x\in A)}$.

Siden alle elementer i ${\displaystyle A}$ er inneholdt i ${\displaystyle A}$, så er ${\displaystyle A}$ en delmengde av seg selv. ${\displaystyle A}$ er en ekte delmengde til ${\displaystyle B}$ hvis og bare hvis

${\displaystyle (\forall x\in B)(x\in A){\text{ og }}(\exists z\in A)(z\notin B)}$.

Notasjon

Inklusjonsoperatoren er en binær relasjon som brukes for å vise en delmengde:

${\displaystyle A\subset B}$.

I noen framstillinger brukes denne notasjonen både ved mengdelikhet ${\displaystyle A=B}$ og for ekte delmengder. En ekte delmengde kan da vises med følgende notasjon, om enn lite brukt:

${\displaystyle A\varsubsetneq B}$

I andre framstillinger er notasjonen ${\displaystyle \subset }$ reservert for ekte delmengder, og det generelle tilfellet skrives slik:

${\displaystyle A\subseteq B}$.

Denne siste skrivemåten er brukt i de videre eksemplene.

For å vise at en mengde ${\displaystyle A}$ ikke er en delmengde av ${\displaystyle B}$, kan en skrive

${\displaystyle A\nsubseteq B}$,

med eller uten likhetstegnet inkludert.

Eksempler

Mengden ${\displaystyle A=\{a,b,c\}}$ er en ekte delmengde av ${\displaystyle A=\{a,b,c,d,e,f\}}$.

Mengden av naturlige tall er en ekte delmengde av de rasjonale tallene, som igjen er en ekte delmengde av de reelle tallene.

Mengden av menn født i Oslo er en delmengde av mengden av alle som er født i Oslo.

Egenskaper

For en vilkårlig mengde ${\displaystyle A}$ gjelder grunnleggende egenskaper:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}A&\subseteq A\\\neg (A&\subset A)\\\varnothing &\subseteq A\end{alignedat}}}$.

Her er ${\displaystyle \varnothing }$ den tomme mengden. Siden en mengde er en delmengde av seg selv, så er inklusjonoperatoren ${\displaystyle \subseteq }$ en refleksiv binær relasjon. Dersom ${\displaystyle B}$ er en delmengde til ${\displaystyle A}$, så gjelder

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}A\cup B&=A\\A\cap B&=B\end{alignedat}}}$.

Inklusjonsoperatoren ${\displaystyle \subseteq }$ er antisymmetrisk, en egenskap som ofte brukes for å vise at to mengder er like:

${\displaystyle A=B\ \Leftrightarrow \ (A\subseteq B{\text{ og }}B\subseteq A)}$.

Operatoren er også transitiv:

${\displaystyle A\subseteq B{\text{ og }}B\subseteq C\ \Rightarrow A\subseteq C}$.

Relaterte mengder

Når ${\displaystyle A}$ er en delmengde i ${\displaystyle B}$, så er ${\displaystyle B}$ en overmengde, men dette siste begrepet brukes ikke så ofte som delmengde. Notasjon for en overmengde er tilsvarende som for en delmengde:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}B&\supset A\\B&\supseteq A\end{alignedat}}}$.

Mengden av alle mulige delmengder i en mengde ${\displaystyle B}$ kalles potensmengden. Hvis ${\displaystyle B=\lbrace a,b\rbrace }$, så er potensmengden gitt ved

${\displaystyle {\mathcal {P}}(B)=\lbrace \varnothing ,\lbrace a\rbrace ,\lbrace b\rbrace ,\lbrace a,b\rbrace \rbrace }$.

En partisjon er en inndeling av en mengde i disjunkte delmengder.

Litteratur

• Patrick Suppes (1972). Axiomatic set theory. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-61630-4. 

• Paul R. Halmos (2025). Naive set theory. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-81487-4. 

Referanser