Deltametoden

Deltametoden er innen statistikk en metode for å lage en tilnærmet sannsynlighetsfordeling for funksjonen av en testobservator. Metoden kan også regnes som en generalisering av sentralgrenseteoremet,

Envariabel deltametode

Anta en følge av tilfeldige variable ${\displaystyle X_{n}}$ som tilfredsstiller

${\displaystyle {\sqrt {n}}(X_{n}-\theta ){\xrightarrow {L}}N(0,\sigma ^{2})}$

der ${\displaystyle \theta }$ og ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ er konstanter, og ${\displaystyle {\xrightarrow {L}}}$ betyr konvergens i distribusjon/lov. Anta at ${\displaystyle g()}$ er en kontinuerlig funksjon, så vil

${\displaystyle {\sqrt {n}}(g(X_{n})-g(\theta )){\xrightarrow {L}}N(0,\sigma ^{2}[g'(\theta )]^{2})}$

Bevis i envariabeltilfellet

For en kontinuerlig funksjon ${\displaystyle g}$, sier middelverdisetningen at

${\displaystyle g(X_{n})=g(\theta )+g'({\tilde {\theta }})(X_{n}-\theta )}$

hvor ${\displaystyle {\tilde {\theta }}}$ ligger mellom ${\displaystyle X_{n}}$ og ${\displaystyle \theta }$. Siden ${\displaystyle X_{n}{\xrightarrow {P}}\theta }$ må også ${\displaystyle {\tilde {\theta }}{\xrightarrow {P}}\theta }$. Hvis vi omarrangerer likningen litt og ganger med ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ får vi

${\displaystyle {\sqrt {n}}(g(X_{n})-g(\theta ))=g'(\theta ){\sqrt {n}}(X_{n}-\theta )}$

og ettersom ${\displaystyle {\sqrt {n}}(X_{n}-\theta ){\xrightarrow {P}}N(0,\sigma ^{2})}$ må ${\displaystyle g'(\theta ){\sqrt {n}}(X_{n}-\theta ){\xrightarrow {P}}N(0,\sigma ^{2}[g'(\theta )]^{2})}$ og beviset er fullført.

Eksempel

Man ønsker ofte å utføre hypotesetester for parametere i sannsynlighetsfordelinger. I poissonfordelingen betyr dette å teste hypotesen om ${\displaystyle \lambda =\lambda _{0}}$ mot ${\displaystyle \lambda \neq {\hat {\lambda }}}$. Der ${\displaystyle {\hat {\lambda }}}$ er den observerte, eller estimerte parameteren. Sentralgrenseteoremet gir da at

${\displaystyle {\sqrt {n}}({\hat {\lambda }}-\lambda _{0})\sim N(0,\lambda _{0})}$

Problemet med denne testobservatoren er at variansen avhenger helt og holdent på ${\displaystyle \lambda }$. Så spredningen i estimatet avhenger av parameteren vi prøve å estimere. Dette problemet kan man komme rundt med deltametoden. Bruk at ${\displaystyle g(\lambda )={\sqrt {\lambda }}}$:

${\displaystyle {\sqrt {n}}({\sqrt {(}}{\hat {\lambda }}-{\sqrt {\lambda _{0}}})\sim N(0,\lambda _{0}{\frac {1}{(2{\sqrt {\lambda _{0}}})^{2}}})=N(0,{\frac {1}{4}})}$

Litteratur

• E. L. Lehman (1998), Elements of Large Sample Theory, Springer