Dualrom

Definisjon

La ${\displaystyle X}$ være et vektorrom definert over en skalarkropp ${\displaystyle \mathbb {K} }$, der ${\displaystyle \mathbb {K} }$ er ${\displaystyle \mathbb {R} }$ eller ${\displaystyle \mathbb {C} }$. En lineær funksjon

${\displaystyle f:X\to \mathbb {K} }$.

kalles for en lineær funksjonal, og mengden av alle slike funksjonaler kalles for dualrommet til X. For å ikke blande dette med dualrom som definert under, kalles dette av og til også for algebraiske dualrom.

Egenskaper

Definisjon

Dualrom kan definert generelt, men ofte er det spesielt interessant å se på kontinuerlige funksjonaler, der X er et normert rom. Noen ganger blir derfor dualrom definert begrenset til dette:

La ${\displaystyle X}$ være et normert vektorrom definert over en skalarkropp ${\displaystyle \mathbb {K} }$, der ${\displaystyle \mathbb {K} }$ er ${\displaystyle \mathbb {R} }$ eller ${\displaystyle \mathbb {C} }$. En kontinuerlig lineær funksjon

${\displaystyle f:X\to \mathbb {K} }$.

kalles for en lineær funksjonal, og mengden av alle slike funksjonaler kalles for dualrommet til X.

Hvis man definerer en norm over ${\displaystyle X^{*}}$, vanligvis gitt ved

${\displaystyle ||f||_{X^{*}}:=\sup _{x\in X,x\neq 0}{\frac {|f(x)|}{||x||_{X}}}}$

er ${\displaystyle X^{*}}$ også et normert vektorrom. Denne normen kalles for dualnormen indusert av normen til ${\displaystyle X}$.

Egenskaper

Generelt arver kontinuerlige dualrom egenskaper fra algebraiske dualrom. Videre er ${\displaystyle X^{*}}$ (tilordnet en norm) også et Banach-rom, siden både ${\displaystyle \mathbb {R} }$ og ${\displaystyle \mathbb {C} }$ er komplette.

Riesz'–Fréchet-teoremet

Riesz'–Fréchet-teoremet, også kalt Riesz' representasjonsteoremet, sier at dersom ${\displaystyle H}$ er et Hilbert-rom, har alle funksjonaler ${\displaystyle f\in H^{*}}$ har et unikt korrepsonderende element ${\displaystyle y\in H}$. Mer presist, la H være et Hilbert-rom og ${\displaystyle x,y}$ være elementer i ${\displaystyle H}$. Vi kan da definere en funksjonal ved indreproduktet definert for ${\displaystyle H}$,

${\displaystyle f_{y}(x)=(x,y)}$.

Riesz'–Fréchet-teoremet sier at alle funksjonaler i ${\displaystyle H^{*}}$ kan kan skrives slik:

La ${\displaystyle H}$ være et Hilbert-rom og ${\displaystyle f\in H^{*}}$. Da finnes en unik ${\displaystyle y\in H}$ slik at

${\displaystyle f(x)=f_{y}(x)=(x,y)}$

for alle ${\displaystyle x\in H}$. Videre er ${\displaystyle ||f||=||y||}$.

L^p-rom

Det kan bevises (men er ikke trivielt) at dersom ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$, og q enten slik at

${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p}}=1}$

dersom ${\displaystyle p>1}$, og ${\displaystyle q=\infty }$ hvis ${\displaystyle p=1}$, så er

${\displaystyle (L^{p})^{*}=L^{q}}$

og

${\displaystyle ({\mathcal {l}}^{p})^{*}={\mathcal {l}}^{q}}$.

For ${\displaystyle L^{p}}$-rom kan man, for et gitt element ${\displaystyle f\in L^{p}}$ og enhver ${\displaystyle g\in L^{q}}$, definere en funksjonal ved

${\displaystyle \int _{\Omega }f(t)g(t)dt}$

som er veldefinet (gitt ved Hölders ulikhet) er veldefinert og gir en kontinuerlig lineær funksjonal for ${\displaystyle L^{p}}$-funksjoner, og det kan videre bevises at for enhver ${\displaystyle g\in L^{p}}$ finnes en slik ${\displaystyle f\in L^{p}}$.

For ${\displaystyle {\mathcal {l}}^{p}}$-rom kan man, for et gitt element ${\displaystyle a\in {\mathcal {l}}^{p}}$ og enhver ${\displaystyle x\in {\mathcal {l}}^{q}}$, definere en funksjonal ved

${\displaystyle f_{a}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}x_{n}}$

og det kan videre bevises at for enhver ${\displaystyle x\in {{\mathcal {l}}^{p}}^{*}}$ finnes en slik ${\displaystyle a\in {\mathcal {l}}^{p}}$.