Gradient

I matematikk er gradienten til et skalarfelt et vektorfelt der vektoren i et hvert punkt peker i retningen til den største økningen i skalarfeltet. Lengden av vektoren er et uttrykk for endringen til skalarfeltet i retning av vektoren.

Gradienten til en funksjon f = f(x₁, ..., x_n) skrives vanligvis ∇f  der ∇ er nabla-operatoren. Den utgjør den fundamentale operasjon i vektoranalysen.

I figurene til høyre er to forskjellige skalarfelt tegnet i svart/hvitt, der svart symboliserer høyere verdier. Den tilhørende gradienten er vist med blå piler.

Ordet gradient brukes også ofte i en løsere betydning for å betegne variasjon i en eller annen størrelse.

Formell definisjon

Gradienten til et generelt skalarfelt ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3},\dots x_{n})}$ definert i et kartesisk koordinatsystem er definert ved

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}f=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right).}$

der den i-te vektorkomponenten er lik den partiellderiverte av funksjonen f med hensyn på den i-te koordinaten.

Definisjonen av gradienten vil avhenge av koordinatsystemet brukt. sylinderkoordinater er definisjonen

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}f(\rho ,\theta ,z)={\frac {\partial f}{\partial \rho }}\mathbf {e} _{\rho }+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {e} _{z}}$

som gir de fysiske komponentene av gradienten. I kulekoordinater er på samme måte

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}f(r,\theta ,\phi )={\frac {\partial f}{\partial r}}\mathbf {e} _{r}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}\mathbf {e} _{\phi }}$

Eksempel

Gradienten til den følgende funksjonen, definert i kartesiske koordinater,

${\displaystyle f(x,y,z)=\ 2x+3y^{2}-\sin(z)}$,

er gitt ved

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}f=\left({\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\right)=\left(2,6y,-\cos(z)\right).}$

Taylorutvikling av skalarfelt

For et punkt der gradienten er definert vil variasjonen i et skalarfelt til første orden kunne uttrykkes ved hjelp av gradienten som

${\displaystyle f(\mathbf {a+v} )=f(\mathbf {a} )+{\boldsymbol {\nabla }}f(\mathbf {a} )\cdot \mathbf {v} +\|\mathbf {v} \|E(\mathbf {a,v} )}$

der restleddet E går mot null når ${\displaystyle \|\mathbf {v} \|}$ går mot null.

Se også

• Divergens
• Curl
• Laplace-operator
• Temperaturgradient
• Trykkgradient

Referanser