Invers funksjon

Definisjonsområder

Dersom ${\displaystyle f}$ er en inverterbar funksjon med domene ${\displaystyle X}$ og kodomene ${\displaystyle Y}$, vil den inverse funksjonen av f ha domene ${\displaystyle Y}$ og kodomene ${\displaystyle X}$:

${\displaystyle f:X\to Y}$ og ${\displaystyle f^{-1}:Y\to X}$

De sammensatte funksjonene ${\displaystyle f^{1}\circ f}$ og ${\displaystyle f\circ f^{-1}}$ er like identitetsfunksjonen definert over domenet X og Y respektivt:

${\displaystyle f^{-1}\circ f=\operatorname {id} _{X}}$ og ${\displaystyle f\circ f^{-1}=\operatorname {id} _{Y}.}$

Eksistens

En funksjon ${\displaystyle f:X\to Y}$ har en invers hvis og bare hvis den er bijektiv. Dette følger av at dersom den har en invers, vil den være surjektiv og injektiv:

• Dersom ${\displaystyle f}$ har en invers ${\displaystyle f^{-1}}$, så vil for enhver ${\displaystyle y\in Yf^{-1}(y)=x}$, slik at ${\displaystyle f(x)=y}$, altså er f surjektiv
• Dersom ${\displaystyle f(x)=f(y)}$ og f har en invers ${\displaystyle f^{-1}}$, så er ${\displaystyle f^{-1}\circ f(x)=f^{-1}\circ f(y)}$, altså er ${\displaystyle x=y}$ og f er injektiv

Motsatt vil en bijektiv funksjon alltid ha en invers:

• Dersom ${\displaystyle f}$ er bijektiv, og ${\displaystyle y\in Y}$, vil det finnes én og bare én ${\displaystyle x\in X}$ slik at ${\displaystyle f(x)=y}$. Altså kan man definere en funksjon ${\displaystyle f^{-1}}$ slik at ${\displaystyle f^{-1}(y)=x}$ for enhver ${\displaystyle y\in Y}$, som vil være en invers av f.