Invers funksjon

En funksjon f og dens inverse f−1. Dersom f(x)=y, så er f−1(y)=x – for eksempel er f(3)=a så f−1(a)=3.

En invers funksjon eller en omvendt funksjon er en funksjon som «opphever virkningen av» en annen funksjon. Mer presist uttrykt er to funksjoner f og g inverse hvis og bare hvis

y=f(x) og x=g(y)

for alle x, y i domenet til henholdsvis x og y. Vi uttrykker det inverse forholdet med:

g=f−1

Uttrykket må ikke forveksles med 1/f

En funksjon har en invers hvis og bare hvis den er bijektiv. Hvis den finnes, er den unik. En funksjon som har en invers, sies å være inverterbar. Begrepet «invers» ble først brukt på 1900-tallet i en tekst av James Pierpont.

Egenskaper

Definisjonsområder

Dersom f er en inverterbar funksjon med domene X og kodomene Y, vil den inverse funksjonen av f ha domene Y og kodomene X:

f:X→Y og f−1:Y→X

De sammensatte funksjonene f1∘f og f∘f−1 er like identitetsfunksjonen definert over domenet X og Y respektivt:

f−1∘f=idX og f∘f−1=idY.

Eksistens

En funksjon f:X→Y har en invers hvis og bare hvis den er bijektiv. Dette følger av at dersom den har en invers, vil den være surjektiv og injektiv:

  • Dersom f har en invers f−1, så vil for enhver y∈Yf−1(y)=x, slik at f(x)=y, altså er f surjektiv
  • Dersom f(x)=f(y) og f har en invers f−1, så er f−1∘f(x)=f−1∘f(y), altså er x=y og f er injektiv

Motsatt vil en bijektiv funksjon alltid ha en invers:

  • Dersom f er bijektiv, og y∈Y, vil det finnes én og bare én x∈X slik at f(x)=y. Altså kan man definere en funksjon f−1 slik at f−1(y)=x for enhver y∈Y, som vil være en invers av f.

Se også

Referanser

  1. ↑ «Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (I)». 27. august 2018. Arkivert fra originalen 17. august 2017. Besøkt 26. januar 2018.
  2. ↑ Patrick Keef, David Guichard. «4.6 Bijections and Inverse Functions». Besøkt 26. januar 2018.

Eksterne lenker

Denne artikkelen er en spire. Du kan hjelpe Wikipedia ved å utvide den.