Klotoide

Klotoiden omtales i optikken som en Cornu-spiral.

Klotoide er en plan kurve der krumningen i hvert punkt øker proporsjonalt med lengden. Den er uendelig lang, men har endelig utstrekning da storparten er viklet om to asymptotiske punkt som ligger symmetrisk plassert i forhold til dens midtpunkt. Dette er også et vendepunktet for kurvens tangenter.

Navnet til kurven kommer fra det greske ordet κλώθω som betyr å spinne da den ene halvdelen minner om garn som vikles av en rull som tilsvarer et asymptotisk punkt. Innen optikken omtales den vanligvis som en Cornu-spiral etter den franske naturviter Marie Alfred Cornu. Han benyttet den på slutten av 1800-tallet til å uttrykke verdier av spesielle integral som opptrer ved Fresnel-diffraksjon av lys.

Men klotoiden kunne også vært oppkalt etter den sveitsiske matematiker Leonhard Euler som studerte den omtrent hundre år tidligere i sammenheng med bøyning av stive, elastiske bånd. De tar da samme form som deler av en klotoide. I vår tid har den fått praktiske anvendelser ved bygging av veier og jernbaner som en «overgangskurve» mellom en rett strekning og inn i en sving slik at sentrifugalkraften skal få minst mulig effekt. Derfor kan deler av den ofte sees på bilder av motorveier som krysser hverandre og er forbundet med avkjøringsveier.

Matematisk fremstilling

På parameterform kan klotoiden koordinater uttrykkes direkte ved de to standard Fresnel-integral,

hvor konstanten a  er en skalafaktor. Den avgjør kurvens utstrekning på tilsvarende måte som radius til en sirkel bestemmer dens størrelse. Klotoidens midtpunkt er (0, 0) med parameterverdien t = 0. Generelt kan denne parameteren ta både positive og negative verdier.

Plott av x(t) og y(t) for a = 1 sammenfaller med standard Fresnel-íntegral C(x) og S(x).

Buelengden fra midtpunktet frem til et vilkårlig punkt med parameter t er nå s = at. Hvis parameteren t  blir betraktet som en tid, opptrer konstanten a som hastigheten man beveger seg med langs kurven. Krumningen til det samme punktet er κ = 2t /a . Den er derfor proporsjonal med den tilbakelagte buelengden.

Det var Euler som rundt 1745 fant denne parametriske fremstillingen av klotoiden. Han visste da at den har et endelig, asymptotisk punkt i grensen t → ∞ . Først 35 år senere kunne han beregne dette ved bruk av den nylige oppdagete gammafunksjonen med resultatet

Symmetrisk plassert på den andre siden av midtpunktet ligger det andre, asymptotiske punktet når t → - ∞ . Dets to koordinater er de samme med motsatte fortegn.

Euler benyttet en annen skalafaktor A  slik at a 2 = 2 A 2. Noen ganger blir denne fremdeles omtalt som «klotoideparameteren». For anvendelser på Fresnel-diffraksjon kalles klotoiden vanligvis for en Cornu-spiral med den spesielle verdien a = √(2/π ) for skalafaktoren.

Utledning

Når man betrakter et lite element ds  av buelengden som danner en vinkel θ  med x-aksen, vil det der utgjøre dx = ds cosθ. Vinkelen varierer generelt langs kurven og kan uttrykkes ved dens krumning definert som κ = dθ/ds. For at denne skal være proporsjonal med buelengden, må derfor θ  øke proporsjonalt med s 2. Definerer man en skalafaktor a  ved sammenhengen θ = s 2/a 2, blir dermed

Det tilsvarende uttrykket for y(s) finnes på samme vis fra dy = ds sinθ . Den alternative parametriseringen følger så ved å skrive s = at  hvor a  kan oppfattes som en hastighet når parameteren t  uttrykker et tidsforløp langs kurven.

Ved praktisk bruk av klotoider benyttes ofte deres krumningsradius R = 1/κ istedenfor selve krumningen. Benevnes samtidig buelengden s := L, vil man ha den fundamentale sammenhengen RL = A 2 når man benytter Eulers klotoideparameter. Den har derfor samme dimensjon som lengde og gir en éntydig beskrivelse av kurven.

Overgangskurve

En vegtrasé der en klotoide er brukt som overgangskurve mellom rettstrekk og en sirkel med radius R = 50. Klotoideparameter A = 50.

Når en planlegger en trasé for veg eller jernbane, blir den bygget opp av rette linjer og sirkelbuer i planet. Hvis kjøretøyer med høy hastighet skal bruke traséen, må det settes inn overgangskurver mellom sirkel og rettlinje for å unngå plutselige endringer i sentrifugalkraften.

Klotoider egner seg godt som overgangskurver. Det skyldes at sentrifugalkraften som kjøretøyet utsettes for, er omvendt proporsjonal med krumningsradius til banen det følger. For en klotoide vil derfor denne kraften øke lineært med tilbakelagt veilengde. En enklere måte å se det på, er at man beveger rattet med jevn hastighet når man kjører bil langs en klotoide. Bruken har også en estetisk begrunnelse ettersom traséer der klotoider er brukt, som regel vil passe bedre inn i naturlig terreng.

Klotoider er brukt i en berg- og dalbane i Texas.

Når en bruker en klotoide som overgangskurve, er krumningsradius uendelig stor ved enden av den rette strekningen og minker så jevnt til den blir lik sirkelens radius ved begynnelsen av sirkelen. En klotoide brukt mellom to sirkler med ulik radius kalles eggkurve. En sammensatt klotoide består av flere klotoider etter hverandre med ulike klotoideparametere.

Klotoider er vanskelig å beregne for hånd, og vegingeniørene brukte derfor tidligere spesielle klotoidelinjaler for å kunne tegne traséer. Nå gjøres beregningene av spesielle dataprogram for vegprosjektering.

Når man bygger berg- og dalbaner med looper, blir det brukt klotoider inn og ut av loopen så passasjerene ikke blir utsatt for farlig høye akselerasjoner. Flere jernbaneingeniører gjenoppdaget på 1800-tallet denne kurven uten å kjenne til Eulers tidligere arbeid.

Referanser

  1. ↑ M. Abramowitz and I.A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Dover Publications, New York (1972).
  2. 1 2 R. Levien, The Euler spiral: A mathematical history, UCB Technical Report No. UCB/EECS-2008-111(2008). PDF.
  3. ↑ E. Hecht, Optics, Addison-Wesley, Reading, Massachusetts (1998). ISBN 0-201-30425-2.
  4. ↑ D.J. Struik, Lectures on classical differential geometry, Dover Publications, New York (1961). ISBN 0-486-65609-8
  5. ↑ Ann-Marie Pendrill, Roller Coaster Loop Shapes, Physics Education 40, 517 (2005).

Eksterne lenker