Kompakt operator

Forhold til mengden av begrensede operatorer

En kompakt operator er også en begrenset operator. Mengden av kompakte operatorer ${\displaystyle K(X,Y)}$ er derfor inneholdt i mengden av begrensede operatorer B(X, Y). Hvis ${\displaystyle S,T\in K(X,Y)}$, og ${\displaystyle a,b}$ skalarer, så er også operatoren definert ved ${\displaystyle aS+bT}$ kompakt, og hvis ${\displaystyle S\in B(X,Y)}$ og ${\displaystyle T\in B(Y,Z)}$ og minst en av de er kompakt, er også operatoren ${\displaystyle TS}$ kompakt.

Dersom X er et normert rom, Y et Banach-rom og ${\displaystyle \{T_{k}\}}$ en følge i ${\displaystyle K(X,Y)}$ som konvergerer til en operator ${\displaystyle T\in B(X,Y)}$ er T også kompakt. Mengden av kompakte operatorer er derfor lukket i mengden av begrensede operatorer.

Endelig-dimensjonale rom

Dersom T er en lineær operator endelig rang, eller dersom enten X eller Y har endelig dimensjon, er T kompakt.

Verdimengden til T er separabel

Dersom T er en kompakt operator, er verdimengden (bildet) ${\displaystyle Im(T)}$ samt verdimengden til tillukningen ${\displaystyle {\overline {Im(T)}}}$ separable.

Følger av begrensede operatorer i Banach- og Hilbert-rom

Hvis X er et normert rom, Y et Banach-rom og ${\displaystyle \{T_{k}\}}$ en følge av begrensede operatorer med endelig rang, slik at ${\displaystyle \{T_{k}\}}$ konvergerer til T, er T kompakt. Hvis Y i tillegg er et Hilbert-rom er det motsatte også sant: Hvis T er kompakt, finnes det en følge ${\displaystyle \{T_{k}\}}$ av begrensede operatorer med endelig rang som konvergerer til T. Dette impliserer videre at T har samme rang som sin adjungerte, og at T er kompakt hvis og bare hvis den adjungerte T^* er kompakt.