Legendre-transformasjon

Eksempel

Funksjonen y = x² kan benyttes til å gi en enkel illustrasjon av transformasjonen. I dette tilfellet er p = d(x²)/dx = 2x. Sammenhengen mellom x og p blir da ganske enkelt x = p/2. Uttrykt ved den opprinnelige variable, blir den transformerte funksjonen derfor g = x² - 2x⋅x = - x². Dette resultatet kan nå skrives som en funksjon av den konjugerte variable, g(p) = - (p/2)² = - p²/4. Man sjekker nå lett at den Legendre-transformerte av denne funksjonen, er den opprinnelige.

Eksempel

En enkel funksjon med en passive variabel er y = tx lnx som er konveks når x > 0. Da blir p = ∂y/∂x = t(1 + lnx). Løses denne ligningen med hensyn på x, finner man at x = (1/e)e ^p/t. Dermed blir

${\displaystyle g=f-xp=tx\ln x-xt(1+\ln x)=-xt}$

som gir

${\displaystyle g(p,t)=-{t \over e}e^{p/t}}$

når man setter inn for x. Dette er den Legendre-transformerte funksjonen. Med dette resultatet kan man nå sjekke at ∂g/∂p = - (1/e)e ^p/t = - x som forventet. Videre er ∂g/∂t = - (1/e)e ^p/t(1 - p/t) = x lnx som er akkurat ∂y/∂t.

Termodynamikk

En differensiell økning dU av den indre energien til et system i termisk likevekt som skyldes forandringene dV av dets volum og dS av dets entropi, er forbundet gjennom termodynamikkens andre hovedsetning. Denne kan matematisk skrives som

${\displaystyle dU=-PdV+TdS}$

hvor P er trykket som systemet er utsatt for og T er temperaturen det har. Dette er et uttrykk for energiens bevarelse. Man kan derfor betrakte den indre enrgien som en funksjon U = U(S,V) hvor P = - (∂U/∂V)_S  og T = (∂U/∂S)_V . Dette gjør det mulig å gjennomføre to forskjellige Legendre-transformasjoner. Enten kan man erstatte volumet V  med den konjugerte variable som er trykket P, eller man kan erstatte entropien S  med den konjugerte variable som er temperaturen T.

I det første tilfellet får man da H = U + PV  som er entalpien til systemet slik at H = H(S,P)  med V = (∂H/∂P)_S  som følger fra definsjonen av den Legendre-transformerte. Videre er T = (∂H/∂S)_P  da S  er en passiv variabel. Den andre muligheten gir F = U - TS  hvor F = F(T,V)  er Helmholtz fri energi. Da vil S = - (∂F/∂T)_V  og P = - (∂F/∂V)_T  da volumet V  denne gangen er passiv.

Denne frie energien kan man nå Legendre-transformeres videre ved å erstatte V med den konjugerte trykkvariable P. Det gir G = F + PV = H -TS  som er Gibbs fri energi G = G(T,P)  med deriverte V = (∂G/∂P)_T  og S = - (∂G/∂T)_P. Alle disse relasjonene mellom variable og tilsvarende deriverte som følger så direkte fra Legendre-transformasjonen, spiller en viktig rolle i beregninger av praktiske konsekvenser av de termodynamiske lover.

Mekanikk

De mekaniske lovene kan formuleres på to tilsynelatende, forskjellige måter. Hvis man benytter Lagrange-mekanikk, kan de alle utledes fra Lagrange-funksjonen for systemet. Hvis man betrakter bare en dynamisk variabel q som varierer med tiden t, er Lagrange-funksjon L = L(q,q',t) hvor den deriverte q' = dq/dt er en generalisert hastighet. Fra prinsippet om minste virkning følger da bevegelsesligningen

${\displaystyle {\partial L \over \partial q}-{d \over dt}\left({\partial L \over \partial q'}\right)=0}$

som er en differensialligning av andre orden i tiden. Det siste leddet inneholder p = ∂L/∂q' som er definert som den kanoniske impulsen for systemet. Bevegelsesligningen kan derfor skrives som p' = ∂L/∂q.

Ut fra definisjonen for impulsen ser man at Lagrange-funksjonen kan Legendre-transformeres til en ny funksjon H = pq' - L hvor man erstatter en hastighetsvariabel q'  med en impulsvariabel p = ∂L/∂q' . Den transformerte funksjonen er da H = H(q,p,t) og kalles for Hamilton-funksjonen for systemet. Da q er en passive variabel under denne transformasjonen, vil ∂H/∂q = - ∂L/∂q = - p'  når man passer på at denne Legendre-transformasjonen har motsatt fortegn av hva som ble benyttet over. Av samme grunn vil derfor q' = + ∂H/∂p.

Hamilton-mekanikk er dermed ikke noe annet enn Legendre-transformert Lagrange-mekanikk. I stedet for å ha en andreordens differensialligning å løse, kan man da i stedet benytte de to førsteordens differensialligningene

${\displaystyle {dq \over dt}={\partial H \over \partial p}\,,\;\;\;\;\;\;{dp \over dt}=-{\partial H \over \partial q}}$

for å beregne bevegelsen. Mange ganger kan dette være enklere selv om fysikken er den samme. Dette er Hamiltons bevegelsesligninger og kan lett generaliseres for systemer med et vilkårlig antall dynamiske variable.