Thetafunksjon

Jacobis trippelproduktformel

Funksjonen til Euler har den spesielle egenskapen at den kan skrives både som et uendelig produkt og en uendelig sum. Jacobi viste i sitt verk Fundamenta Nova at den representerer et spesielt eksempel på en mer generell, matematisk identitet

${\displaystyle \prod _{m=1}^{\infty }(1-x^{2m})(1+x^{2m-1}y^{2})(1+x^{2m-1}y^{-2})=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x^{n^{2}}y^{2n}}$

Da det på venstre side inngår et produkt med tre faktorer, kalles den vanligvis for «Jacobis trippelproduktformel». Ved å sette inn her ${\displaystyle x=q^{3/2}}$ og ${\displaystyle y=-q^{1/2},}$ vil disse faktorene gå sammen til å gi produktet av alle ${\displaystyle 1-q^{m}}$ fra ${\displaystyle m=1}$ til uendelig. Dermed fremkommer Eulers funksjon som en uendelig sum på høyre side.

Nullpunkt

Abel hadde forsøkt å konstruere thetafunksjoner basert på kravet at deres nullpunkt skulle tilsvare nullpunktene og polene til de elliptiske funksjonene. De ville da inngå i et uendelig produkt som han fikk problemer med å konstruere på en konvergent måte. Jacobi løste dette problemet ved å angripe problemet i den andre enden ved å definere thetafunksjonen som en uendelig sum. Ved bruk av sin trippelproduktformel kunne han så skrive denne om som et uendelig produkt. Nullpunktene til thetafunksjonen tilsvarer da nullpunktene til de enkelte faktorene i produktet.

Ved å sette ${\displaystyle x=e^{i\pi \tau }}$ og ${\displaystyle y=e^{i\pi z}}$ i Jacobis formel kan den uendelige summen som definerer thetafunksjonen, på denne måten skrives som

${\displaystyle \theta (z;\tau )=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-e^{2\pi im\tau }\right)\left(1+e^{i\pi (2m-1)\tau +2\pi iz}\right)\left(1+e^{i\pi (2m-1)\tau -2\pi iz}\right)}$

Den første faktoren i produktet kan ikke bli null. Derimot gir den andre faktoren nullpunkt når ${\displaystyle e^{i\pi (2m-1)\tau +2\pi iz}=-1,}$ det vil si for

${\displaystyle e^{i\pi (2m-1)\tau +2\pi iz}=e^{i\pi (2n+1)}}$

når n = 0, ±1, ±2 og så videre. Ligningen gir nå at alle nullpunkt er av formen

${\displaystyle z_{n,m}={1 \over 2}+{\tau \over 2}+n-m\tau }$

Den tredje faktoren gir symmetrisk plasserte løsninger. De befinner seg alle på et uendelig gitter generert av de to basisvektorene ${\displaystyle (1,\tau ).}$ Akkurat disse nullpunktene tilhører den elliptiske funksjonen ${\displaystyle dn(u,k).}$ Nullpunktene til de to andre, primære funksjonene av denne typen kan beskrives på tilsvarerende måte ved å benytte at thetafunksjonen har en periodisitet i sitt første argument.

Jacobis thetafunksjoner

De to andre, elliptiske funksjonene ${\displaystyle sn(u,k)}$ og ${\displaystyle cn(u,k)}$ har sine nullpunkt henholdsvis i punktene (0,0) og (1/2, 0) i den fundamentale gittercellen ${\displaystyle (1,\tau ).}$ Nye thetafunksjoner med slike nullpunkt kan nå finnes fra ${\displaystyle \theta (z;\tau )}$ ved å forskyve z-argumentet med de tilsvarende størrelsene. Det betyr at ${\displaystyle sn(u,k)}$ må være proporsjonal med ${\displaystyle \theta (z+1/2+\tau /2;\tau ),}$ mens ${\displaystyle cn(u,k)}$ er proporsjonal med ${\displaystyle \theta (z+\tau /2;\tau ).}$

Dette kan gjøres mer systematisk ved å definere en mer generell thetafunksjon

${\displaystyle \theta _{ab}(z;\tau ):=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{i\pi \tau (n+a/2)^{2}+2\pi i(n+a/2)(z+b/2)}}$

hvor indeksen (a,b) parametriserer disse forskyvningene. På dette viset kan de fire thetafunksjonene til Jacobi nå defineres som

${\displaystyle {\begin{aligned}-\theta _{1}(z,q)&=\theta _{11}(z;\tau )\\\theta _{2}(z,q)&=\theta _{10}(z;\tau )\\\theta _{3}(z,q)&=\theta _{00}(z;\tau )\\\theta _{4}(z,q)&=\theta _{01}(z;\tau )\end{aligned}}}$

Her er størrelsen ${\displaystyle q=e^{i\pi \tau }}$ og kalles funksjonenes nome. Dette navnet synes de å ha fått fra en lærebok om elliptiske funksjoner som den norske matematiker Ole Jacob Broch utga i 1867.

Skrevet som uendelige summer er de fire funksjonene nå gitt ved

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{1}(z,q)&=2q^{1/4}\sum \limits _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}q^{n(n+1)}\sin(2n+1)\pi z\\\theta _{2}(z,q)&=2q^{1/4}\sum \limits _{n=0}^{\infty }q^{n(n+1)}\cos(2n+1)\pi z\\\theta _{3}(z,q)&=1+2\sum \limits _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}}\cos 2n\pi z\\\theta _{4}(z,q)&=1+2\sum \limits _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}q^{n^{2}}\cos 2n\pi z\end{aligned}}}$

Både definisjoner og notasjoner varierer litt i litteraturen. Opprinnelig benyttet Jacobi navnene ${\displaystyle \Theta }$ og ${\displaystyle \mathrm {H} }$ for to av dem, mens de to andre ble skrevet ${\displaystyle \Theta _{1}}$ og ${\displaystyle \mathrm {H} _{1}.}$ Etter som årene gikk har dette så forandret seg noe til en temmelig homogen notasjon som benyttes av de fleste i dag.

Grafisk fremstilling

For beregning av de elliptiske funksjonene til Jacobi gir thetafunksjonene oftest en raskere fremgangsmåte enn andre metoder. Det skyldes at da er parameteren τ = iK' /K  slik at nomen q  dermed blir så liten at man behøver kun å ta med de aller første termene i de forskjellige rekkeutviklingene av funksjonene.

Det finnes ingen enkel, grafisk fremstilling av disse funksjonene som for en reell funsksjon av én variabel. Hver av dem involverer to komplekse argument, det vil si fire reelle variable. To reelle variable behøves for å angi de komplekse funksjonsverdiene.

Man kan i dag illustrere noen egenskaper til funksjonene ved å benytte moderne, grafiske hjelpemiddel. Vanlig er da å se på dem for en bestemt verdi av nomen q  og gi en fremstilling over det komplekse planet for det første argumentet z. I hvert punkt av dette har thetafunksjonen da en bestemt, kompleks verdi. Denne kan angis ved dens absolutte størreslse og dens argument. Mest vanlig er å vise dette ved en nærmere bestemt fargekode, mens størrelsen fremstilles ved graden av lys/mørke i denne. Et mørkt punkt må forstås å ha en svært liten absoluttverdi, mens den er tilsvarende stor når dette nærmer seg helt hvitt.