Ułamek

W tych przegródkach znajduje się 7 gołębi. Jeden gołąb to jedna część z siedmiu – jedna siódma stadka, czyli nieco więcej niż 14% wszystkich.
Ciasto dzielimy na cztery równe części. Jedna część to ¼, czyli 25% całego ciasta – jeśli dodamy wszystkie cztery kawałki, uzyskamy całe ciasto.

Ułamek – wyrażenie arytmetyczne lub algebraiczne postaci ab, gdzie a i b są dowolnymi wyrażeniami tego typu. Wielkość a jest znana jako licznik, b jako mianownik, a oddzielająca je linia jako kreska ułamkowa. Wartością ułamka jest iloraz licznika przez mianownik, dlatego wartość ta istnieje tylko dla mianowników różnych od zera – dzielenie a0 nie jest określone.

Podstawowy typ ułamków to ułamki zwykłe – ich liczniki i mianowniki są liczbami całkowitymi. Są to zapisy (reprezentacje) liczb wymiernych. Wyróżnia się kilka rodzajów ułamków zwykłych jak właściwe, niewłaściwe, skracalne i nieskracalne, opisane dalej. Do ułamków zwykłych czasem zalicza się:

Ułamki zwykłe są rozważane od starożytności, a ułamki dziesiętne z zapisem pozycyjnym upowszechniły się w nowożytności. Ułamki zwykłe, dziesiętne i procenty stały się tematem nauczanym w szkołach podstawowych, np. w Polsce w XXI wieku są częścią podstawy programowej klas IV–VIII.

W arytmetyce oprócz ułamków zwykłych wyróżnia się też:

W algebrze rozważa się między innymi ułamki zbudowane z wielomianów – wyrażenia wymierne. Operowanie na nich jest wymagane w polskich szkołach średnich, także w zakresie podstawowym. Algebra wyższa bada między innymi ułamki zbudowane z bardziej ogólnych, abstrakcyjnych obiektów jak elementy innych pierścieni całkowitych – zbiorów z działaniami dodawania, odejmowania i mnożenia o odpowiednich własnościach.

Liczby wymierne

Jeżeli licznikiem i mianownikiem ułamka są liczby całkowite, wówczas wartością ułamka jest liczba wymierna.

Ułamek będący liczbą wymierną nazywa się właściwym, gdy jego wartość bezwzględna jest mniejsza od jedności, a niewłaściwym, gdy jest ona od niej większa lub równa. Ułamek o dodatnim liczniku i mianowniku jest właściwy, gdy jego licznik jest mniejszy od mianownika, niewłaściwy – gdy jest większy lub równy. Ułamek niewłaściwy można przedstawić w postaci liczby mieszanej, tj. sumy liczby całkowitej i ułamka właściwego; aby tego dokonać należy wykonać dzielenie z resztą licznika przez mianownik. Zwyczajowo sumę zapisuje się już bez znaku dodawania, np. 1+23 staje się 123.

Działania na ułamkach

Dla każdego c≠0 ułamek ab jest równy acbc. Operację zamiany ab na acbc nazywa się rozszerzeniem ułamka, odwrotną zaś skróceniem ułamka.

Mnożenie i dzielenie wykonuje się wg wzorów:

ab⋅cd=acbd, na przykład: 29⋅45=845
ab:cd=adbc.

Przedstawienie liczby k w postaci ułamka k1 prowadzi do wzorów:

ab⋅k=akb,
ab:k=abk.

Aby dodać lub odjąć od siebie ułamki o identycznych mianownikach należy skorzystać z następujących wzorów:

am+bm=a+bm,am−bm=a−bm.

Jeżeli mianowniki są różne, należy uprzednio sprowadzić je do wspólnego mianownika, co polega na takim rozszerzeniu ułamków, aby ich mianowniki zrównały się. Prawdziwe są wzory:

ab+cd=ad+bcbd,ab−cd=ad−bcbd.

Liczba bd może zawsze pełnić rolę wspólnego mianownika, jednak często warto jest poszukać mniejszych wartości, najmniejszą możliwą jest najmniejsza wspólna wielokrotność liczb b i d.

Aby sprowadzić ułamek do postaci nieskracalnej, należy podzielić zarówno licznik, jak i mianownik ułamka przez jak najwyższą możliwą liczbę (musi być taka sama!), np.:

4503150=450:503150:50=963=9:963:9=17

Wzór:

ab=a:cb:c=de=d:fe:f=gh lub można skrócić na ab=a:cb:c=de, gdzie b≠0, c≠0, e≠0, f≠0 oraz h≠0.

Ułamek jest w postaci nieskracalnej, jeżeli licznik i mianownik nie mają wspólnych liczb, przez które można podzielić zarówno licznik, jak i mianownik bez reszty (nie licząc 1) lub ma postać 1a, gdzie a≠0.

Przykład: Ułamek 940 jest nieskracalny, ponieważ 9 jest podzielne przez 1, 3, 9, a mianownika nie można bez reszty podzielić przez ani 3, ani 9, a dzielenie przez 1 nie zmienia ułamka.

Ułamki często wykorzystywane są do obliczania stóp procentowych, gdzie stopa procentowa wyrażana jest jako ułamek, na przykład 5% to 5100

Przykład: Obliczenie rocznych odsetek z lokaty 1000 zł przy stopie 5%: Odsetki = 1000 zł × 5100 = 50 zł

Wyrażenia wymierne

Jeżeli licznik i mianownik danego ułamka są wielomianami, to nazywa się go wyrażeniem wymiernym; reprezentuje ono wówczas w naturalny sposób funkcję wymierną. Jeżeli stopień licznika jest większy lub równy stopniowi mianownika, to można wykonać dzielenie wielomianowe i otrzymać, podobnie jak w przypadku dzielenia liczb, wynik jako sumę wielomianu oraz funkcji wymiernej.

Ciało ułamków

 Osobny artykuł: ciało ułamków.

Dla każdego pierścienia całkowitego P (zatem i struktur takich jak pierścień liczb całkowitych czy pierścień wielomianów o współczynnikach całkowitych) można zdefiniować ciało nazywane ciałem ułamków.

Istotność założenia całkowitości pierścienia

Jeżeli pierścień przemienny ma dzielniki zera, to nie można skonstruować na nim ciała ułamków: jeśli xy=0 dla niezerowych x,y∈P, to

[1,1]∼[x,x]=[x,1]⋅[1,x]∼[xy,y]⋅[1,x]=[0,y]⋅[1,x]∼[0,1]⋅[1,x]=[0,x]∼[0,1],

czyli

[1,1]∼[0,1],

stąd zaś dla dowolnego

[a,b]=[a,b]⋅[1,1]∼[a,b]⋅[0,1]=[0,b]∼[0,1],

więc jest tylko jedna klasa abstrakcji – klasa [0,1], a z definicji ciało ma przynajmniej dwa różne elementy.

Dla pierścieni nieprzemiennych tworzenie ułamków bardzo się komplikuje.

Typografia

Licznik i mianownik zwykle oddziela się linią; jeżeli jest ona pochyła, to nazywa się ją ukośnikiem, np. 3/4; jeśli linia ta jest pozioma, to nazywa się ją kreską ułamkową, np. 34.

W Unicode niektóre ułamki kodowane są za pomocą jednego znaku, co przydatne jest w formatowaniu w systemach pisma CJK. Są to:

NazwaZnakUnicodeKod HTML
Jedna czwarta¼U+00BC¼ lub ¼
Jedna druga½U+00BD½ lub ½
Trzy czwarte¾U+00BE¾ lub ¾
Jedna siódma⅐U+2150⅐ lub ⅐
Jedna dziewiąta⅑U+2151⅑ lub ⅑
Jedna dziesiąta⅒U+2152⅒ lub ⅒
Jedna trzecia⅓U+2153⅓ lub ⅓
Dwie trzecie⅔U+2154⅔ lub ⅔
Jedna piąta⅕U+2155⅕ lub ⅕
Dwie piąte⅖U+2156⅖ lub ⅖
Trzy piąte⅗U+2157⅗ lub ⅗
Cztery piąte⅘U+2158⅘ lub ⅘
Jedna szósta⅙U+2159⅙ lub ⅙
Pięć szóstych⅚U+215A⅚ lub ⅚
Jedna ósma⅛U+215B⅛ lub ⅛
Trzy ósme⅜U+215C⅜ lub ⅜
Pięć ósmych⅝U+215D⅝ lub ⅝
Siedem ósmych⅞U+215E⅞ lub ⅞
Jedna ...⅟U+215F⅟ lub ⅟

Zobacz też

Przypisy

  1. 1 2 3 4 5 6 7 ułamek, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-09-30].
  2. ↑ ułamek zwykły, [w:] Słownik języka polskiego [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-07-16].
  3. ↑ ułamek dziesiętny, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-01].
  4. ↑ Szkoła podstawowa IV-VIII. Matematyka, podstawaprogramowa.pl [dostęp 2024-07-16].
  5. ↑ publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać Podstawa programowa kształcenia ogólnego z komentarzem. Szkoła ponadpodstawowa: liceum ogólnokształcące, technikum oraz branżowa szkoła I i II stopnia, matematyka, Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl, s. 15 [dostęp 2023-12-08].
  6. ↑ ułamek właściwy, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-09-30].
  7. ↑ ułamek niewłaściwy, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-09-30].
  8. ↑ Ułamki - dodawanie, mnożenie i dzielenie - SprawdzJak.pl [online], 7 stycznia 2024 [dostęp 2024-01-16] (pol.).

Linki zewnętrzne