Autokowariancja

Autokowariancja – wielkość równa kowariancji pomiędzy procesem stochastycznym w chwili $t$ a tym samym procesem w chwili $s$ . Definiuje się ją dla procesów o skończonej wartości oczekiwanej i skończonej wariancji w każdym punkcie czasowym.

Definicja

Jeśli proces stochastyczny $\{X_{t}\}_{t\in T}$ ma wartość oczekiwaną $\mathbb {E} X_{t}=\mu _{t}$ i skończoną wariancję w każdej chwili $t$ , to funkcja autokowariancji jest dana wzorem:

\operatorname {K} _{XX}(t,s)=\mathbb {E} \left[(X_{t}-\mu _{t})(X_{s}-\mu _{s})\right]=\mathbb {E} (X_{t}\cdot X_{s})-\mu _{t}\cdot \mu _{s}

Autokowariancja $\operatorname {K} _{XX}(t,s)$ jest więc kowariancją dwóch wartości tego samego procesu stochastycznego $\{X_{t}\}_{t\in T}$ w chwilach $t$ i $s$ .

Własność

W przypadku, gdy proces $(X_{t})_{t\in T}$ jest stacjonarny w szerszym sensie, jego wartość oczekiwana jest stała ( $\mu _{t}=\mu$ dla każdego $t$ ), a autokowariancja zależy wyłącznie od różnicy czasu (przesunięcia). Wzór przyjmuje wtedy postać funkcji jednej zmiennej:

\operatorname {K} _{XX}(\tau )=\mathbb {E} \left[(X_{t}-\mu )(X_{t+\tau }-\mu )\right]=\mathbb {E} (X_{t}\cdot X_{t+\tau })-\mu ^{2}

gdzie $\tau =s-t$ oznacza opóźnienie (ang. lag), o jakie proces został przesunięty.

Zobacz też

autokorelacja

Przypisy

↑ Gajek i Kałuszka 1993 ↓, s. 93.
↑ BrianB. Everitt BrianB., AndersA. Skrondal AndersA., The Cambridge dictionary of statistics, 4th edition, Finance professional collection, Cambridge New York: Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-76699-9 [dostęp 2025-10-16] .
↑ ChristopherCh. Chatfield ChristopherCh., The analysis of time series: theory and practice, wyd. Reprint, Monographs on applied probability and statistics, London: Chapman & Hall, 1978, s. 35, ISBN 978-0-412-14180-5 [dostęp 2025-10-16] .
↑ Hwei P.H.P. Hsu Hwei P.H.P., Hwei P.H.P. Hsu Hwei P.H.P., Schaum's outline of theory and problems of probability, random variables, and random processes, Schaum's outline series, New York, NY: McGraw-Hill, 1997, s. 162, ISBN 978-0-07-030644-8 [dostęp 2025-10-16] .

Bibliografia

Lesław Gajek, Marek Kałuszka, Wnioskowanie statystyczne Modele i metody, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1993, str. 119-120. ISBN 83-204-1645-0.

[CITEREFGajekKałuszka199393-1] Gajek i Kałuszka 1993 ↓, s. 93.

[2] BrianB. Everitt BrianB., AndersA. Skrondal AndersA., The Cambridge dictionary of statistics, 4th edition, Finance professional collection, Cambridge New York: Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-76699-9 [dostęp 2025-10-16] .

[3] ChristopherCh. Chatfield ChristopherCh., The analysis of time series: theory and practice, wyd. Reprint, Monographs on applied probability and statistics, London: Chapman & Hall, 1978, s. 35, ISBN 978-0-412-14180-5 [dostęp 2025-10-16] .

[4] Hwei P.H.P. Hsu Hwei P.H.P., Hwei P.H.P. Hsu Hwei P.H.P., Schaum's outline of theory and problems of probability, random variables, and random processes, Schaum's outline series, New York, NY: McGraw-Hill, 1997, s. 162, ISBN 978-0-07-030644-8 [dostęp 2025-10-16] .