Dywizor

Definicja

Niech ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ będzie wolną półgrupą abelową z jedynką, generatory której nazywają się dywizorami pierwszymi, i niech będzie dany homomorfizm ${\displaystyle \varphi \colon P^{*}\to {\mathcal {D}}.}$ Homomorfizm ten określa teorię dywizorów w pierścieniu ${\displaystyle P,}$ jeśli spełnione są następujące warunki:

1. Dla ${\displaystyle \varphi :a,b\in P^{*}}$ element ${\displaystyle a}$ dzieli element ${\displaystyle b}$ w pierścieniu ${\displaystyle P}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle (a)}$ dzieli ${\displaystyle (b)}$ w ${\displaystyle {\mathcal {D}}.}$
2. Dla dowolnego ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\in {\mathcal {D}}}$ zbiór ${\displaystyle [{\mathfrak {a}}]=\{0\}\cup \{a\in P^{*}:{\mathfrak {a}}|(a)\}}$ jest ideałem pierścienia ${\displaystyle P.}$
3. Jeśli ${\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\in {\mathcal {D}}}$ i dla dowolnego ${\displaystyle a\in P^{*}}$ element ${\displaystyle (a)}$ jest podzielny przez ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle (a)}$ jest podzielny ${\displaystyle {\mathfrak {b}},}$ to ${\displaystyle {\mathfrak {a}}={\mathfrak {b}}}$.

Warunki te wyznaczają teorię dywizorów pierścienia ${\displaystyle P,}$ jeśli ona istnieje, jednoznacznie z dokładnością do izomorfizmu.

Powyższa definicja jest równoważna następującej:

1. Dla ${\displaystyle \varphi :a,b\in P^{*}}$ element ${\displaystyle a}$ dzieli element ${\displaystyle b}$ w pierścieniu ${\displaystyle P}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle (a)}$ dzieli ${\displaystyle (b)}$ w ${\displaystyle {\mathcal {D}}.}$
2. Niech ${\displaystyle [{\mathfrak {a}}]=\{0\}\cup \{a\in P^{*}:{\mathfrak {a}}|(a)\}.}$ Jeśli ${\displaystyle \alpha ,\beta \in [{\mathfrak {a}}],}$ to ${\displaystyle \alpha \pm \beta \in [{\mathfrak {a}}].}$
3. Jeśli ${\displaystyle [{\mathfrak {a}}]=[{\mathfrak {b}}],}$ to ${\displaystyle {\mathfrak {a}}={\mathfrak {b}}}$ i dla dowolnego ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ zbiór ${\displaystyle [{\mathfrak {a}}]}$ zawiera elementy niezerowe.

Własności

1. Każdy pierścień, w którym spełnione jest podstawowe twierdzenie arytmetyki ma teorię dywizorów, w której wszystkie dywizory są główne.
2. Jeśli w pierścieniu istnieje teoria dywizorów, w której wszystkie dywizory są główne, to w pierścieniu tym spełnione jest podstawowe twierdzenie arytmetyki.

Dywizor funkcji meromorficznej

Jeśli ${\displaystyle V}$ jest podzbiorem otwartym powierzchni Riemanna ${\displaystyle X,}$ to dla dowolnej funkcji meromorficznej ${\displaystyle f\colon V\to {\bar {\mathbb {C} }}}$ oraz punktu ${\displaystyle a\in V}$ można określić funkcję ${\displaystyle \operatorname {ord} _{a}(f),}$ która jest równa:

1. 0, jeśli funkcja ${\displaystyle f}$ jest holomorficzna i różna od zera w ${\displaystyle a,}$
2. ${\displaystyle k,}$ jeśli funkcja ${\displaystyle f}$ ma w punkcie ${\displaystyle a}$ zero rzędu ${\displaystyle k,}$
3. ${\displaystyle -k,}$ jeśli funkcja ${\displaystyle f}$ ma w punkcie ${\displaystyle a}$ biegun rzędu ${\displaystyle k,}$
4. ${\displaystyle \infty ,}$ jeśli ${\displaystyle f\equiv 0}$ w pewnym otoczeniu punktu ${\displaystyle a.}$

Odwzorowanie ${\displaystyle x\mapsto \operatorname {ord} _{x}(f)}$ jest dywizorem na ${\displaystyle X,}$ nazywane jest dywizorem funkcji ${\displaystyle f}$ i oznaczane przez ${\displaystyle (f).}$

Funkcja ${\displaystyle f}$ jest podzielna przez dywizor ${\displaystyle {\mathfrak {D}},}$ jeśli ${\displaystyle {\mathfrak {D}}\leqslant (f),}$ a holomorficzna, jeśli ${\displaystyle 0\leqslant (f).}$

Dywizory Weila

Dywizor Weila to lokalnie skończona kombinacja liniowa nierozkładalnych podrozmaitości kowymiaru 1. Zbiór dywizorów Weila tworzy grupę abelową z działaniem dodawania. W klasycznej teorii dywizorów warunek lokalnej skończoności jest pomijany jako zawsze spełniony; w takiej sytuacji grupa dywizorów Weila rozmaitości wymiaru ${\displaystyle n}$ to po prostu wolna grupa abelowa nad nierozkładalnymi podrozmaitościami wymiaru ${\displaystyle n-1.}$ Na przykład dywizor na krzywej algebraicznej to suma formalna (o skończonej ilości niezerowych współczynników) jej punktów. W przypadku krzywej eliptycznej ${\displaystyle E}$ sytuacja jest jeszcze prostsza – każdy dywizor ${\displaystyle D}$ jest liniowo równoważny pewnemu dywizorowi ${\displaystyle D_{0}=[P]-[O],}$ tzn. ${\displaystyle D=kD_{0}}$ dla pewnego ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} ,}$ gdzie ${\displaystyle P}$ jest pewnym jednoznacznie wyznaczonym punktem na ${\displaystyle E,}$ zaś ${\displaystyle O}$ jest zerem (punktem bazowym) na krzywej. Odpowiedniość ta pozwala wprowadzić i uzasadnić nieintuicyjne w swej postaci algebraicznej działanie grupowe dla krzywych eliptycznych, wychodząc z pojęć geometrii algebraicznej.

Grupę dywizorów rozmaitości ${\displaystyle V}$ oznacza się przez ${\displaystyle Div(V).}$

Dywizor efektywny Weila to taki, w którym wszystkie współczynniki w sumie są nieujemne.