Element algebraiczny

Element algebraiczny – uogólnienie pojęcia liczby algebraicznej na rozszerzenia dowolnych ciał. Liczby algebraiczne to elementy algebraiczne ciała liczb zespolonych nad ciałem liczb wymiernych.

Definicja

Niech ${\displaystyle K}$ będzie podciałem ciała ${\displaystyle L.}$ Element ${\displaystyle a\in L}$ nazywamy elementem algebraicznym nad ${\displaystyle K}$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje niezerowy wielomian o współczynnikach z ciała ${\displaystyle K,}$ którego pierwiastkiem jest ${\displaystyle a.}$

Element niebędący algebraicznym nad ${\displaystyle K}$ nazywamy elementem przestępnym nad ${\displaystyle K}$ w ciele ${\displaystyle L.}$

Własności

• Zbiór wszystkich elementów ciała ${\displaystyle L}$ algebraicznych nad ${\displaystyle K}$ tworzy ciało, zwane rozszerzeniem algebraicznym ciała ${\displaystyle K.}$
• Jeśli ${\displaystyle a\in L}$ jest elementem algebraicznym nad ${\displaystyle K,}$ to

${\displaystyle K(a)=K[a]=\{f(a)\in L\colon \,f\in L[x]\}}$ (por. oznaczenia w artykule rozszerzenia ciał)

• Dla każdego elementu algebraicznego ${\displaystyle a\in L}$ nad ${\displaystyle K}$ istnieje dokładnie jeden unormowany wielomian pierwszy ${\displaystyle p_{a}}$ o współczynnikach z ciała ${\displaystyle K}$ (tj. element pierwszy w pierścieniu ${\displaystyle K[x]}$), którego pierwiastkiem jest ${\displaystyle a.}$ Wielomian ${\displaystyle p_{a}}$ nazywamy wielomianem minimalnym elementu algebraicznego ${\displaystyle a.}$ Zachodzi ${\displaystyle [F(a):F]=\deg p_{a}.}$ Stopień ten nazywamy stopniem elementu algebraicznego ${\displaystyle a.}$

Bibliografia

• Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1987.
• Andrzej Mostowski, Marceli Stark: Elementy algebry wyższej. Warszawa: PWN, 1975.