Gauson

Gauson (ang. Gausson) – soliton będący rozwiązaniem równania Schrödingera z nieliniowością logarytmiczną opisującego cząstkę kwantową w możliwej nieliniowej mechanice kwantowej.

Niech nieliniowe równanie Schrödingera w jednym wymiarze będzie dane przez ${\displaystyle (\hbar =1){:}}$

${\displaystyle \mathrm {i} {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}-a\ln |\psi |^{2}\psi .}$

Zakłada się tzw. niezmienniczość Galileusza, tzn.

${\displaystyle \psi (x,t)=\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} Et}\psi (x-kt).}$

Podstawiając

${\displaystyle y=x-kt,}$

pierwsze równanie można zapisać jako:

${\displaystyle -{\frac {1}{2}}\left({{\frac {\partial \psi }{\partial y}}+\mathrm {i} k}\right)^{2}-a\ln |\psi |^{2}\psi =\left(E+{\frac {k^{2}}{2}}\right)\psi .}$

Ponadto podstawiając

${\displaystyle \Psi (y)=\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} ky}\psi (y)}$

i zakładając

${\displaystyle \Psi (y)=N\mathrm {e} ^{-\omega y^{2}/2},}$

otrzymuje się zwykłe równanie Schrödingera dla oscylatora harmonicznego:

${\displaystyle -{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial y^{2}}}+a\omega y^{2}\Psi =\left(E+{\frac {k^{2}}{2}}+N^{2}a\right)\Psi .}$

Rozwiązaniem jest więc stan podstawowy oscylatora harmonicznego, jeśli tylko ${\displaystyle (a>0){:}}$

${\displaystyle a\omega =\omega ^{2}/2}$

lub

${\displaystyle \omega =2a.}$

Pełne rozwiązanie solitonowe jest więc dane przez:

${\displaystyle \psi (x,t)=\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} Et}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k{(x-kt)}}\mathrm {e} ^{-a({x-kt})^{2}},}$

gdzie:

${\displaystyle E=a(1-N^{2})-k^{2}/2.}$

Rozwiązanie to opisuje soliton poruszający się ze stałą prędkością ${\displaystyle k}$ i niezmieniający kształtu funkcji Gaussa.

Przypisy