Kointegracja – własność statystyczna szeregów czasowych wykorzystywana w ekonometrii, która opisuje sytuację, kiedy przynajmniej dwa zmienne szeregi czasowe, nawet jeśli poszczególne szeregi są niestacjonarne, tworzą stabilną relację długookresową. Ma ona miejsce wtedy, gdy ich kombinacja liniowa jest stacjonarna, co w praktyce oznacza, że mimo krótkookresowych odchyleń, zmienne te poruszają się wspólnie w czasie i pozostają powiązane stabilną równowagą.
Termin został zaproponowany i wprowadzony do użytku przez ekonometryków Roberta Engle i Clive’a Grangera w artykule opublikowanym w 1987 roku pod tytułem Co-integration and Error Correction: Representation, Estimation, and Testing. Między innymi za to osiągnięcie zostali oni uhonorowani Nagrodą Banku Szwecji im. Alfreda Nobla w dziedzinie ekonomii w 2003 roku.
Mówimy, że poszczególne szeregi czasowe , , są skointegrowane, jeżeli każdy z nich jest indywidualnie zintegrowany w stopniu (zapisujemy jako , co oznacza, że wymagają -krotnego różnicowania do osiągnięcia stacjonarności, ale ich kombinacja liniowa jest zintegrowana niższego stopnia. Innymi słowy, jeśli zmienne (, , ) są zintegrowane stopnia i istnieją takie współczynniki , , , że wyrażenie:
jest zintegrowane stopnia niższego niż , to zmienne , , są skointegrowane.
Pierwszym badaczem, który wprowadził i przeanalizował koncepcję regresji pozornej (ang. spurious regression), był Udny Yule w 1926 roku. Przed latami 80. XX wieku wielu ekonomistów stosowało regresję liniową na niestacjonarnych danych szeregów czasowych. Laureat Nagrody Nobla Clive Granger oraz Paul Newbold wykazali, że było to podejście ryzykowne, mogące prowadzić do uzyskania pozornych korelacji, ponieważ standardowe techniki usuwania trendu (detrendyzacja) często skutkują danymi, które wciąż pozostają niestacjonarne. Artykuł Grangera i Roberta Engle’a z 1987 roku sformalizował podejście oparte na wektorze kointegracyjnym i wprowadził sam termin do powszechnego użycia.
Dla procesów zintegrowanych stopnia pierwszego – – Granger i Newbold udowodnili, że usuwanie trendu nie eliminuje problemu pozornej korelacji, a znacznie lepszą alternatywą jest sprawdzenie występowania kointegracji. Dwa szeregi wykazujące trendy mogą być skointegrowane tylko wtedy, gdy istnieje między nimi rzeczywista zależność. Z tego powodu współczesna metodologia regresji szeregów czasowych wymaga weryfikacji stopnia zintegrowania wszystkich analizowanych zmiennych. Jeśli po obu stronach równania regresji występują zmienne , wyniki mogą być mylące.
Ewentualna obecność kointegracji musi być brana pod uwagę przy wyborze techniki testowania hipotez dotyczących relacji między zmiennymi posiadającymi pierwiastki jednostkowe (czyli zintegrowanymi stopnia co najmniej pierwszego). Tradycyjna procedura testowania zależności między zmiennymi niestacjonarnymi polegała na stosowaniu metody najmniejszych kwadratów (KMNK) na danych poddanych różnicowaniu. Metoda ta jest jednak obciążona, jeśli analizowane zmienne niestacjonarne są ze sobą skointegrowane.
Klasycznym przykładem regresji pozornej jest zestawienie szeregu konsumpcji jednego kraju (np. Fidżi) z PNB zupełnie innego, losowo wybranego kraju (np. Afganistanu). Taka analiza może wykazać wysoki współczynnik determinacji , sugerujący silną zależność, mimo braku jakiegokolwiek związku przyczynowego. Dzieje się tak, ponieważ dwa zintegrowane szeregi , które nie są ze sobą powiązane, mogą mimo to wykazywać statystycznie istotną korelację wynikającą wyłącznie z obecności trendu.
Istnieje kilka głównych metod testowania kointegracji. Dwie popularne metody testowania kointegracji to metoda Engle’a-Grangera oraz metoda Johansena.
Jeśli szeregi oraz są zintegrowane w stopniu , a jednocześnie są skointegrowane, to ich kombinacja liniowa musi być stacjonarna dla pewnej wartości oraz błędu . Innymi słowy:
gdzie jest procesem stacjonarnym.
Jeśli parametr jest znany, stacjonarność można sprawdzić za pomocą rozszerzonego testu Dickeya-Fullera (ADF) lub testu Phillipsa-Perrona. Jeśli nie jest znane, należy je najpierw oszacować, zazwyczaj za pomocą metody najmniejszych kwadratów (regresja względem wraz z wyrazem wolnym). Następnie przeprowadza się test ADF na oszacowanych resztach . Należy jednak pamiętać, że gdy jest estymowane, wartości krytyczne testu ADF są niestandardowe i rosną co do wartości bezwzględnej wraz z dodawaniem kolejnych regresorów.
Jeśli zmienne są skointegrowane, przeprowadza się drugi etap regresji. Jest to regresja względem opóźnionych regresorów oraz opóźnionych reszt z pierwszego etapu, . Regresja drugiego stopnia przyjmuje postać:
Jeśli zmienne nie są skointegrowane (nie można odrzucić hipotezy zerowej o braku kointegracji przy testowaniu ), wówczas i szacuje się model oparty na różnicach: .
Test Johansena pozwala na identyfikację więcej niż jednej relacji kointegracyjnej, w przeciwieństwie do metody Engle’a-Grangera. Test ten opiera się jednak na właściwościach asymptotycznych, co oznacza, że wymaga dużych prób badawczych. Jeśli liczebność próby jest zbyt mała, wyniki mogą być niewiarygodne – w takim przypadku zaleca się stosowanie modelu autoregresyjnego z rozproszonymi opóźnieniami (ARDL).
Peter C. B. Phillips oraz Sam Ouliaris (1990) wykazali, że testy pierwiastka jednostkowego oparte na resztach, stosowane do oszacowanych reszt kointegracyjnych, nie mają standardowych rozkładów Dickeya-Fullera przy hipotezie zerowej o braku kointegracji. Ze względu na zjawisko regresji pozornej, asymptotyczne rozkłady tych testów zależą od: (1) liczby deterministycznych składników trendu oraz (2) liczby zmiennych objętych badaniem kointegracji. Rozkłady te są znane jako rozkłady Phillipsa-Ouliarisa, a ich wartości krytyczne zostały stablicowane. W przypadku małych prób (prób skończonych) lepszą alternatywą dla wartości asymptotycznych jest generowanie wartości krytycznych za pomocą symulacji.
W praktyce kointegrację najczęściej stosuje się dla dwóch szeregów typu , jednak pojęcie to ma szersze zastosowanie i może być używane dla zmiennych zintegrowanych wyższego stopnia (np. w celu wykrycia skorelowanych przyspieszeń lub innych efektów opartych na drugich różnicach). Multikointegracja rozszerza technikę kointegracji na więcej niż dwie zmienne, a niekiedy także na zmienne zintegrowane w różnym stopniu.
Standardowe testy kointegracji zakładają, że wektor kointegracyjny jest stały w całym badanym okresie. W rzeczywistości długookresowa zależność między zmiennymi może ulec zmianie (może dojść do przesunięcia wektora kointegracyjnego). Przyczynami mogą być: postęp technologiczny, kryzysy gospodarcze, zmiany preferencji i zachowań konsumentów, zmiany polityki gospodarczej lub reżimu, a także rozwój organizacyjny i instytucjonalny. Ryzyko wystąpienia takich zmian jest szczególnie wysokie w przypadku długich szeregów czasowych. Aby uwzględnić ten problem, opracowano testy kointegracji uwzględniające jedną nieznaną przerwę strukturalną, a także testy dopuszczające istnienie dwóch nieznanych przerw.
Zaproponowano również kilka metod bayesowskich służących do obliczania rozkładu a posteriori liczby relacji kointegracyjnych oraz parametrów kombinacji liniowych tych relacji.
Mając do czynienia z kointegracją, stosuje się jednorównaniowy model korekty błędem (ECM - Error Correction Model) jako narzędzie analizy szeregów czasowych. Model ten pozwala uchwycić dynamiczne relacje między zmiennymi, które mogą być niestacjonarne w krótkim okresie, lecz wykazują długookresowy związek. Model można zapisać w postaci:
gdzie:
Model ECM jest stosowany w sytuacjach, gdy zmienne są skointegrowane, co oznacza, że między nimi istnieje długookresowy związek. Wartość parametru α w przedziale 0 < < 1 wskazuje, że zmienna endogeniczna dąży do równowagi. Im wartość jest bliższa 1, tym korekta jest szybsza.
