Modular

Modular – rodzaj funkcjonału na rzeczywistej przestrzeni liniowej. Pojęcie modularu służy do zdefiniowania tzw. przestrzeni modularnych, których szczególnym przypadkiem są przestrzenie Orlicza.

Definicja

Jeśli ${\displaystyle X}$ jest rzeczywistą przestrzenią liniową, to odwzorowanie ${\displaystyle \varrho \colon X\to [0,\infty ]}$ nazywamy modularem (w przestrzeni ${\displaystyle X}$) gdy dla wszystkich ${\displaystyle x,y\in X}$ oraz wszystkich nieujemnych liczb rzeczywistych ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ takich, że ${\displaystyle \alpha +\beta =1}$ spełnione są warunki

1. ${\displaystyle \varrho (x)=0}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle x=0,}$
2. ${\displaystyle \varrho (x)=\varrho (-x),}$
3. ${\displaystyle \varrho (\alpha x+\beta y)\leqslant \varrho (x)+\varrho (y).}$

Jeśli zamiast warunku 3 spełniony jest warunek

3' ${\displaystyle \varrho (\alpha x+\beta y)\leqslant \alpha \varrho (x)+\beta \varrho (y),}$

to odwzorowanie ${\displaystyle \varrho }$ nazywamy modularem wypukłym.

Jeśli ${\displaystyle \varrho }$ jest modularem w przestrzeni ${\displaystyle X,}$ to zbiór ${\displaystyle X_{\varrho }}$ tych elementów ${\displaystyle x\in X,}$ dla których

${\displaystyle \lim _{\lambda \to 0}\varrho (\lambda x)=0}$

nazywamy przestrzenią modularną.

Własności

• Przestrzeń modularna ${\displaystyle X_{\varrho }}$ jest podprzestrzenią liniową przestrzeni ${\displaystyle X.}$
• Jeśli ${\displaystyle \varrho }$ jest modularem wypukłym w przestrzeni ${\displaystyle X,}$ to odwzorowanie dane wzorem

${\displaystyle \|x\|_{\varrho }=\inf\{u>0\colon \,\varrho ({\tfrac {x}{u}})\leqslant 1\}}$ jest normą w przestrzeni ${\displaystyle X_{\varrho }.}$

• Jeśli ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią unormowaną, to norma jest modularem wypukłym w tej przestrzeni.

Ciągi Cauchy’ego w przestrzeniach modularnych

Dla przestrzeni modularnych definiuje się pojęcie analogiczne do ciągu Cauchy’ego w przestrzeni metrycznej:

• Niech ${\displaystyle X_{\varrho }}$ będzie przestrzenią modularną. Ciąg ${\displaystyle (x_{k})_{k\in \mathbb {N} }}$ punktów tej przestrzeni nazywamy ciągiem Cauchy’ego (w przestrzeni modularnej ${\displaystyle X_{\varrho }}$), gdy dla każdej liczby ${\displaystyle a>0}$ oraz każdego ${\displaystyle \varepsilon >0}$ istnieje taka liczba ${\displaystyle N,}$ że dla wszystkich ${\displaystyle m,n>N}$

${\displaystyle \varrho (a(x_{n}-x_{m}))<\varepsilon .}$

• Przestrzeń ${\displaystyle X_{\varrho }}$ nazywamy ${\displaystyle \varrho }$-zupełną, gdy dla każdego ciągu Cauchy’ego ${\displaystyle (x_{k})_{k\in \mathbb {N} }}$ punktów tej przestrzeni istnieje ${\displaystyle x\in X_{\varrho },}$ że

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\varrho (a(x_{k}-x))=0}$

dla każdego ${\displaystyle a>0.}$

Okazuje się, że jeśli ${\displaystyle \varrho }$ jest modularem wypułym to ciąg punktów przestrzeni modularnej jest ciągiem Cauchy’ego w przestrzeni modularnej wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągiem Cauchy’ego w przestrzeni unormowanej ${\displaystyle (X_{\varrho },\|\cdot \|_{\varrho }).}$

Bibliografia

• Musielak, Julian: Wstęp do analizy funkcjonalnej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1976, s. 97–99.