Operator Fredholma

Operator Fredholma – w analizie funkcjonalnej, ograniczony operator liniowy pomiędzy dwiema przestrzeniami Banacha, którego jądro i kojądro są skończenie wymiarowe. Nazwa pojęcia pochodzi od Erika Ivara Fredholma, który rozważał takie operatory w teorii równań całkowych.

Twierdzenie Atkinsona

Niech ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y}$ będą przestrzeniami Banacha oraz niech ${\displaystyle T\colon X\to Y}$ będzie ograniczonym operatorem liniowym. Twierdzenie Atkinsona mówi, że ${\displaystyle T}$ jest operatorem Fredholma wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki operator ${\displaystyle S\colon Y\to X,}$ że operatory

${\displaystyle I_{X}-ST,\quad I_{Y}-TS}$

są zwarte.

Indeks Fredholma

Dla danego operatora Fredholma ${\displaystyle T\colon X\to Y}$ definiuje się jego indeks Fredholma ${\displaystyle \operatorname {ind} T}$ wzorem

${\displaystyle \operatorname {ind} T:=\dim \ker T-\operatorname {codim} T(X),}$

czyli innymi słowy,

${\displaystyle \operatorname {ind} T=\dim \ker T-\dim \,\operatorname {coker} T,}$

gdzie coker ${\displaystyle T}$ oznacza kojądro ${\displaystyle T.}$ Indeks Fredholma jest zatem liczbą całkowitą.

Własności

• Z twierdzenia o odwzorowaniu otwartym wynika, że obraz operatora Fredholma jest domknięty.

• Rodzina ${\displaystyle \Phi (X,Y)}$ złożona ze wszystkich operatorów Fredholma z ${\displaystyle X}$ do ${\displaystyle Y}$ jest otwartym podzbiorem przestrzeni wszystkich operatorów z ${\displaystyle X}$ do ${\displaystyle Y.}$ Innymi słowy, dla każdego operatora Fredholma ${\displaystyle T_{0}\colon X\to Y}$ istnieje taka liczba ${\displaystyle \varepsilon >0}$ że dla każdy operator ograniczony ${\displaystyle T\colon X\to Y}$ o tej własności, że ${\displaystyle ||T-T_{0}||<\varepsilon }$ jest również operatorem Fredholma, który ma ponadto ten sam indeks co ${\displaystyle T_{0}}$.

• Jeżeli ${\displaystyle T\colon X\to Y}$ i ${\displaystyle U\colon Y\to Z}$ są operatorami Fredholma, to złożenie ${\displaystyle UT\colon X\to Z}$ jest również operatorem Fredholma oraz

${\displaystyle \operatorname {ind} (UT)=\operatorname {ind} (U)+\operatorname {ind} (T)}$.

• Operator sprzężony do operatora Fredholma ${\displaystyle T}$ jest również operatorem Fredholma oraz ${\displaystyle \operatorname {ind} (T^{*})=-\operatorname {ind} (T)}$. Takie same relacje zachodzą dla operatorów sprzężonych do operatorów Fredholma działających między przestrzeniami Hilberta.

• Indeks Fredholma jest niezmienniczy ze względu na dodawanie operatorów zwartych, tzn. jeżeli ${\displaystyle T\colon X\to Y}$ jest operatorem Fredholma, a ${\displaystyle K\colon X\to Y}$ jest operatorem zwartym, to ${\displaystyle T+K}$ jest również operatorem Fredholma oraz ${\displaystyle \operatorname {ind} (T)=\operatorname {ind} (T+K).}$ Ogólniej, jeżeli ${\displaystyle T\colon X\to Y}$ jest operatorem Fredholma a ${\displaystyle S\colon X\to Y}$ jest operatorem ściśle singularnym, to ${\displaystyle T+S}$ jest również operatorem Fredholma oraz ${\displaystyle \operatorname {ind} (T)=\operatorname {ind} (T+S)}$.

Przykład

Niech ${\displaystyle H}$ będzie przestrzenią Hilberta z bazą ortonormalną ${\displaystyle (e_{n})}$ indeksowaną liczbami naturalnymi z zerem. Niech ${\displaystyle S\colon H\to H}$ będzie operatorem przesunięcia w prawo, tj.

${\displaystyle S(e_{n})=e_{n+1}\quad (n\geqslant 0).}$

Wówczas ${\displaystyle S}$ jest różnowartościowy, tj. wymiar jądra ${\displaystyle S}$ wynosi 0 (${\displaystyle S}$ jest ponadto izometryczny) oraz jego kojądro ma kowymiar 1, a więc ${\displaystyle S}$ jest operatorem Fredholma o indeksie ${\displaystyle \operatorname {ind} (S)=-1.}$ Kolejne potęgi ${\displaystyle S^{k},k\geqslant 0}$ są operatorami Fredholma o indeksie ${\displaystyle -k.}$ Operatorem sprzężonym do ${\displaystyle S}$ jest operator przesunięcia w lewo:

${\displaystyle S^{*}(e_{0})=0,\ \ S^{*}(e_{n})=e_{n-1}\quad (n\geqslant 1).}$

Operator ${\displaystyle S^{*}}$ jest więc operatorem Fredholma o indeksie 1.

Przypisy

Bibliografia

• Yuri A. Abramovich, Charalambos D. Aliprantis, An Invitation to Operator Theory, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 2002.
• John B. Conway: A Course in Functional Analysis. Wyd. Second Edition. New York: Springer-Verlag, 2010, seria: Graduate Texts in Mathematics 96. ISBN 1-4419-3092-2.
• Joram Lindenstrauss, Lior Tzafriri, Classical Banach Spaces I. Sequence Spaces, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1977.