Pole centralne

Pole centralne – pole wektorowe, które jest symetryczne ze względu na obrót o dowolny kąt wokół punktu centralnego. Wektor ${\displaystyle {\vec {A}}({\vec {r}})}$ pola centralnego w punkcie ${\displaystyle {\vec {r}}}$ przestrzeni leży na prostej łączącej ten punkt z punktem centralnym. Punkt centralny nazywany jest centrum pola.

Definicja pola centralnego

Jeżeli początek układu współrzędnych umieści się w centrum pola, to

${\displaystyle {\vec {A}}({\vec {r}})=f(r){\frac {\vec {r}}{r}}.}$

gdzie ${\displaystyle f(r)}$ jest dowolną funkcją skalarną zależną jedynie od odległości ${\displaystyle r}$ od centrum pola; wartość wektora pola jest więc identyczna dla wszystkich punktów położonych w równej odległości od centrum; gdy funkcja ${\displaystyle f(r)}$ jest dodatnia, to wektory pola w odległości ${\displaystyle r}$ są ułożone na sferze o promieniu ${\displaystyle r}$ i są skierowane od centrum; gdy funkcja ${\displaystyle f(r)}$ jest ujemna – to wektory pola są skierowane do centrum.

Np. dla pola grawitacyjnego wektor siły, jaką ciało o masie M – źródło pola, działa na ciało o masie m umieszczone w polu, ma postać:

${\displaystyle {\vec {F}}_{z}(r)={\frac {GmM}{r^{2}}}{\frac {\vec {r}}{r}}.}$

Zakłada się przy tym, że źródło pola jest nieruchome, ze względu na znacznie większą masę (np. masa Słońca jest ponad 300 000 razy większa niż masa Ziemi).

Przykłady pól centralnych

• Pole grawitacyjne wytworzone przez spoczywający punkt materialny lub masę jednorodną o kształcie kuli.
• Pole elektryczne wytworzone przez spoczywający ładunek punktowy lub jednorodnie naelektryzowaną sferę lub kulę.
• Pole sił sprężystych wytwarzanych np. przez rozciąganą lub zgniataną sprężynę lub inny układ drgający.

Własności pola centralnego

• linie pola są półprostymi wychodzącymi z centrum pola
• pole centralne jest bezwirowe
• pole centralne jest polem potencjalnym
• powierzchnie o jednakowym potencjale (ekwipotencjalne) są sferami o środku w centrum pola
• jedynym polem centralnym, którego dywergencja zanika (czyli bezźródłowym) wszędzie, poza punktem centralnym, jest pole mające postać ${\displaystyle {\frac {C}{r^{2}}},}$ gdzie C jest stałą.

Zobacz też

• energia potencjalna
• pole jednorodne
• potencjał pola

Przypisy