Problem Waringa

W roku 1770 (XVIII w.) Edward Waring wysunął hipotezę, że każdą liczbę naturalną można przedstawić jako sumę czterech kwadratów (np. ${\displaystyle 7=2^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}}$). Ogólny zapis hipotezy:

Dla każdej liczby całkowitej ${\displaystyle n>1,}$ jest liczba ${\displaystyle k=k(n),}$ że każda liczba całkowita dodatnia ${\displaystyle N}$ może być zapisana jako:

${\displaystyle x_{1}^{n}+x_{2}^{n}+\ldots +x_{k}^{n}=N}$

z nieujemną liczbą całkowitą ${\displaystyle x_{1},\;x_{2},\;\dots ,\;x_{k}.}$

Hipoteza ta została udowodniona w tym samym roku przez J.L. Lagrange’a i obecnie nazywana jest problemem Waringa.

Problem ów został następnie uogólniony na wyższe potęgi (np. 1909 – David Hilbert, 1920 – Hardy i Littlewood). W roku 1909 David Hilbert wykazał, że dla każdej liczby naturalnej ${\displaystyle k}$ istnieje taka liczba ${\displaystyle s,}$ że każdą liczbę naturalną można zapisać za pomocą co najwyżej ${\displaystyle s\;k}$-tych potęg liczb naturalnych. Niech dla każdego ${\displaystyle k}$ liczba ${\displaystyle g(k)}$ oznacza najmniejsze takie ${\displaystyle s.}$ Problem Waringa pyta właśnie o wartości funkcji ${\displaystyle g(k)}$.

Kilka pierwszych wartości funkcji ${\displaystyle g(k)}$ to:

1, 4, 9, 19, 37, 73, 143, 279, 548, 1079, 2132, 4223, 8384, 16673, 33203, 66190, 132055...

Należy zauważyć, że liczba może mieć więcej niż jedną postać jako suma ${\displaystyle k}$-tych potęg, np. ${\displaystyle 310=17^{2}+4^{2}+2^{2}+1^{2}=15^{2}+9^{2}+2^{2}+0^{2}.}$

W roku 1939 Leonard Eugene Dickson wykazał, że 23 oraz 239 to jedyne liczby wymagające sumy dziewięciu sześcianów (oznacza to, że wszystkie pozostałe liczby wymagają co najwyżej ośmiu sześcianów).

Przypisy

Bibliografia

• Dennis Weeks (Hg.): Meditationes algebraicae. An English translation of the work of Edward Waring. Providence: American Mathematical Society, 1991. (ISBN 0-8218-0169-4).
• Leonard Eugene Dickson: All integers except 23 and 239 are sums of eight cubes. In: „Bulletin of the American Mathematical Society” 45 (1939), s. 588–591.

Linki zewnętrzne

• MichałM. Gos MichałM., Problem Waringa i funkcje gęstości w teorii liczb, „Delta”, wrzesień 2026, ISSN 0137-3005 [dostęp 2026-09-02] .
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Waring's Problem, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-13]  (ang.).