Problem odwrotny

Załóżmy, że nasz model polega na sumowaniu wszystkich cyfr z pudła (A). Za pomocą zagadnienia odwrotnego staramy się z otrzymanego wyniku odtworzyć zawartość pudła (B). Pomyślność rozwiązania zależy od informacji jakie posiadamy na temat założeń dotyczących naszego modelu.

Problem odwrotny (zagadnienie odwrotne, ang. Inverse problem) – zadanie, które często występuje w różnych gałęziach nauki czy matematyki, gdzie niektóre parametry modelu muszą być wyznaczone na podstawie obserwowanych wartości.

Problemy odwrotne to jedna z najważniejszych klas problemów matematycznych, skoncentrowanych wokół bardzo wielu różnych dziedzin nauki; ponieważ są to zagadnienia, które są w stanie – przy pewnych założeniach na ich temat – powiedzieć nam coś o pewnych wielkościach, których nie jesteśmy jednak w stanie bezpośrednio zaobserwować. Wiele problemów odwrotnych można znaleźć w ramach takich obszarów wiedzy, jak między innymi: identyfikacja systemu, optyka, radiolokacja, akustyka, teoria komunikacji, przetwarzanie sygnałów, obrazowanie medyczne, rozpoznawanie obrazów, geofizyka, oceanografia, meteorologia, astronomia, teledetekcja, przetwarzanie języka naturalnego, uczenie maszynowe, defektoskopia, stateczność zboczy (zagadnienie geotechniki); a także w ramach wielu innych, niewymienionych tutaj.

Zapis formalny

Załóżmy, że wybrane zjawisko można opisać za pomocą zależności:

gdzie to wektor danych wyjściowych z systemu (np. zmierzona temperatura obiektu); to wektor danych wejściowych oznaczający przyczyny zewnętrzne (np. przyłożona siła); oznacza właściwości samego systemu (np. stałe materiałowe); oznacza warunki brzegowe; to system (funkcja, macierz) opisujący zjawisko. Jeśli na podstawie znanych parametrów wyznaczana jest wartość to mamy do czynienia z zagadnieniem wprost. W przypadku gdy na podstawie znajomości wektora i wybranych parametrów spośród mamy wyznaczyć brakujące wielkości opisujące zjawisko mówimy o problemie odwrotnym. Możliwa jest również sytuacja w której np. posiadamy niepełną informację na temat wektorów i wtedy zadanie mające na celu wyznaczyć brakujące wartości nazywamy problemem mieszanym.

Prosty przykład

Odnosząc rozumowanie do ilustracji obok załóżmy, że nasz model polega na zsumowaniu wszystkich cyfr z pudła (część A rysunku). Zagadnienie odwrotne mogłoby polegać na wyznaczeniu na podstawie obserwowanego wyniku 27 zawartości pudła (część B rysunku). W zależności od dodatkowych informacji o naszym modelu możemy uzyskać rzeczywiste rozwiązanie bądź nie. Mówimy wtedy, że problem jest dobrze bądź źle postawiony.

Typy problemów źle postawionych

W praktyce zagadnienia odwrotne są często problemami źle postawionymi i do ich rozwiązania wykorzystuje się np. metody regularyzacyjne. Wybór techniki rozwiązania zależy od rodzaju zagadnienia. Zwyczajowo wyróżnia się 3 następujące typy zagadnień odwrotnych źle postawionych:

Przykłady zastosowań

Praktycznym wykorzystaniem problemu odwrotnego jest np. algorytm rekonstrukcji obrazu w tomografii komputerowej, wyznaczanie prądów morskich, zastosowanie w badaniach nieniszczących czy wyznaczanie źródeł bioelektrycznych elektrokardiografii i elektroencefalografii.

Zobacz też

Przypisy

  1. ↑ Zygmunt Pizlo, Perception viewed as an inverse problem, „Vision Research”, 41 (24), 2001, s. 3145–3161, DOI: 10.1016/S0042-6989(01)00173-0, ISSN 0042-6989 [dostęp 2026-07-12] [zarchiwizowane z adresu 2025-01-28] (ang.).
  2. ↑ Ali Mohamad-Djafari, Inverse Problems in Vision and 3D Tomography, John Wiley & Sons, 29 stycznia 2013, ISBN 978-1-118-60046-7 (ang.).
  3. ↑ Ernesto De Vito, Learning from Examples as an Inverse Problem [online], Journal of Machine Learning Research 6 (2005) 883–904.
  4. ↑ Ibsen Chivatá Cárdenas, On the use of Bayesian networks as a meta-modelling approach to analyse uncertainties in slope stability analysis, „Georisk: Assessment and Management of Risk for Engineered Systems and Geohazards”, 13 (1), 2019, s. 53–65, DOI: 10.1080/17499518.2018.1498524, ISSN 1749-9518 [dostęp 2026-07-12].
  5. 1 2 3 G.R. Liu, X. Han: Computational Inverse Techniques in Nondestructive Evaluation. CRC Press, 2003. ISBN 978-0-8493-1523-7.
  6. ↑ M. Bertero, P. Boccacci: Introduction to Inverse Problems in Imaging. CRC Press, 1998. ISBN 978-1-4398-2206-7.
  7. ↑ Carl Wunsch: The Ocean Circulation Inverse Problem. Cambridge University Press, 1996. ISBN 0-521-48090-6.
  8. ↑ Yuan Jiang: Solving the Inverse Problem of Electrocardiography in a Realistic Environment. KIT Scientific Publishing, 2010. ISBN 978-3-86644-486-7.
  9. ↑ Johannes Höhne: The inverse EEG problem. GRIN Verlag, 2008. ISBN 978-3-638-06888-8.

Linki zewnętrzne