Problemy Landaua

Hipoteza Goldbacha

Twierdzenie Chena (stanowiące słabszą wersję stwierdzenia hipotezy Goldbacha) mówi, że dowolną liczbę parzystą większą od 2 można przedstawić jako sumę dwóch liczb pierwszych lub liczby pierwszej i półpierwszej.

Bordignon, Johnston oraz Starichkova, poprawiając oraz udoskonalając wcześniejszy rezultat Yamady, udowodnili następującą bezpośrednią wersję twierdzenia Chena: każda liczba parzysta większa od ${\displaystyle e^{e^{32,7}}\approx 1,4\cdot 10^{69057979807814}}$ jest sumą liczby pierwszej oraz liczby stanowiącej iloczyn co najwyżej dwóch liczb pierwszych.

Słaba hipoteza Goldbacha mówiąca, że dowolną liczbę nieparzystą większą od 7 da się przedstawić jako sumę 3 nieparzystych liczb pierwszych została udowodniona przez Haralda Helfgotta w 2013, a dowód został przez niego publicznie udostępniony w 2015. Aktualnie (2025) nie został on jednak wydrukowany w żadnym renomowanym czasopiśmie naukowym. Wprost ze Słabej Hipotezy Goldbacha wynika, że każdą liczbę parzystą można przedstawić jako sumę 4 liczb pierwszych.

Hipoteza liczb pierwszych bliźniaczych

W 1966 Chen Jingrun udowodnił, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych ${\displaystyle p}$, takich że liczba ${\displaystyle p+2}$ jest albo liczbą pierwszą, albo liczbą półpierwszą (liczby ${\displaystyle p}$ o tej własności zaczęto nazywać później liczbami pierwszymi Chena). Oprócz tego rezultatu, Chena w tej samej pracy udowodnił także inne, następujące (o niemal identycznym dowodzie, co poprzednie twierdzenie): dla dowolnej liczby całkowitej ${\textstyle h}$ istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych ${\textstyle p}$, takich że ${\textstyle p+h}$ jest liczbą pierwszą lub półpierwszą.

W 2013 Yitang Zhang udowodnił, że istnieje nieskończenie wiele par liczb pierwszych z przerwą między nimi ograniczoną przez 70 milionów, a dzięki zbiorowym wysiłkom Projektu Polymath rezultat został poprawiony do długości 246. Zakładając uogólnioną hipotezę Eliotta-Halberstama można poprawić ten rezultat do długości 6.

Andrzej Shinzel przedstawił znacznie ogólniejszą hipotezę, z której poprawności wprost wynika istnienie liczb pierwszych bliźniaczych jak i wielu innych liczb pierwszych o postulowanej postaci.

Hipoteza Legendre'a

Albert Ingham udowodnił, że dla odpowiednio dużych ${\textstyle n}$ zawsze istnieje liczba pierwsza pomiędzy ${\textstyle n^{3}}$ oraz ${\textstyle (n+1)^{3}}$.

Rezultaty numeryczne pokazują, że hipoteza Legendre'a zachodzi dla dowolnych kwadratów do granicy 2⁶⁴ ≈ 1.8×10¹⁹. Potencjalny kontrprzykład podobnej wielkości musiałby mieć za sobą przerwę w liczbach pierwszych setki milionów razy większą niż średni rozmiar przerwy w tych granicach.

Liczby pierwsze prawie kwadratowe

Rozwiązanie tego problemu również wynika wprost z hipotezy H Shinzela oraz mniej ogólnej hipotezy Buniakowskiego.

Henryk Iwaniec udowodnił, że istnieje nieskończenie wiele liczb postaci ${\textstyle p=n^{2}+1}$ posiadających najwyżej dwa różne dzielniki pierwsze.

Twierdzenie Friedlandera-Iwańca mówi, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci ${\textstyle p=x^{2}+y^{4}}$.

Grimmelt i Merikoski korzystając z poprzednich rezultatów pokazali, że istnieje nieskończenie wiele liczb ${\textstyle n^{2}+1}$, dla których największy dzielnik pierwszy jest wielkości co najmniej ${\textstyle n^{1.321}}$. Problem Landau byłby rozwiązany dla wykładnika równego 2.

Ankeny i Kubilius zakładając rozszerzenie uogólnionej Hipotezy Riemanna na L-funkcje z charakterami Heckego pokazali, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci ${\textstyle p=x^{2}+y^{2}}$, gdzie ${\textstyle y=O(\,\log p\,)}$. Najlepszy rezultat tego typu, który nie wymaga zakładania nieudowodnionych hipotez został osiągnięty przez Harmana i Lewisa, ich ograniczenie wynosi: ${\displaystyle y=O(p^{0.119})}$.