Sygnatura metryki

Sygnaturą (p, q, r) tensora metrycznego ${\displaystyle g^{\mu \nu }}$ nazywa się zespół liczb wskazujący, ile jest w tensorze metrycznym elementów dodatnich p, ujemnych q oraz zerowych r – jeżeli tensor ten jest sprowadzony do postaci diagonalnej.

Sygnaturę nazywa się nieokreśloną lub mieszaną, jeżeli obie liczby p oraz q są niezerowe. Sygnaturę nazywa się zdegenerowaną, gdy r jest niezerowe.

Oznaczenia sygnatury

Jeżeli r = 0 (co zachodzi typowo), to sygnaturę określa się wybierając z poniższych sposobów:

(1) podając parę liczb (p, q)

(2) podając listę znaków, np.

• (+, −, −, −) dla sygnatury (1, 3)
• (−, +, +, +) dla sygnatury (3, 1)

(3) podając liczbę s = p − q, jeżeli wymiar przestrzeni domyślnie wynosi n = p + q; np.

• s = 1 − 3 = −2 dla (+, −, −, −)
• s = 3 − 1 = +2 dla (−, +, +, +)

Przykłady

• metryka Riemanna ma dodatnio określoną sygnaturą (p, 0)
• metryka Lorentza ma sygnaturę (p, 1) lub (1, q).

Bibliografia

• L. D. Landau, J. M. Lifszyc, Teoria pola, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2009.