Test serii

Ten artykuł należy dopracować:

od 2023-12 → zweryfikować treść i dodać przypisy,
→ zweryfikować niektóre informacje.
Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu.
Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Test serii (zwany też testem serii Stevensa lub testem serii Walda-Wolfowitza) – nieparametryczny test losowości próby. Stosuje się go m.in. do sprawdzenia, czy wyniki eksperymentu spełniają postulat losowości próby.

Hipotezę zerową i alternatywną formułujemy w sposób następujący:

• H₀: dobór jednostek do próby jest losowy; model jest liniowy.
• H₁: dobór jednostek do próby nie jest losowy; model jest nieliniowy.

Jedną z metod weryfikacji wyżej zapisanej hipotezy jest test serii.

Pod pojęciem serii rozumiemy każdy ciąg identycznych elementów w zbiorze uporządkowanym według przyjętego kryterium. Na przykład jeżeli odnotujemy płeć studentów podchodzących kolejno do egzaminu, możemy otrzymać ciąg:

M M Ż Ż M Ż Ż Ż M M Ż M Ż Ż Ż.

W tym przykładowym ciągu, uporządkowanym według kolejności pojawiania się elementów dwóch rodzajów (M i Ż), powstało 8 serii składających się z jednakowych elementów występujących obok siebie. Zakładając, że pojawienie się kolejnych elementów jest losowe, ogólna liczba serii w ciągu n-elementowym jest zmienną losową ${\displaystyle K}$ o znanym i ujętym w tablice rozkładzie. Jest ona statystyką w opisywanym teście losowości próby.

Sposób wyznaczania wartości statystyki z próby:

1. Kolejno zapisane ${\displaystyle n}$ obserwacji zmiennej ciągłej tworzy ciąg podstawowy;
2. Obserwacje porządkujemy rosnąco i wyznaczamy medianę;
3. W ciągu podstawowym oznaczamy symbolami ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ wartości różniące się od mediany:
   • ${\displaystyle x_{i}<Me}$ oznaczamy ${\displaystyle A,}$
   • ${\displaystyle x_{i}>Me}$ oznaczamy ${\displaystyle B,}$
   • ${\displaystyle x_{i}=Me}$ pomijamy.
4. Analizując ustawienie symboli ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B,}$ zliczamy utworzoną liczbę serii ${\displaystyle k,}$ która jest wartością statystyki otrzymaną z próby.

Obszar krytyczny testu jest dwustronny.

Jeżeli ${\displaystyle n_{A},n_{B}\leqslant 20,}$ to wartości krytyczne odczytujemy z tablic rozkładu liczby serii (tablica H) jako:

${\displaystyle k_{1}(\alpha /2;n_{A};n_{B})}$ oraz ${\displaystyle k_{2}(1-\alpha /2;n_{A};n_{B}),}$

gdzie ${\displaystyle n_{A}}$ i ${\displaystyle n_{B}}$ oznaczają odpowiednio liczbę elementów oznaczonych symbolami ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B.}$

Zliczoną w próbie liczbę serii ${\displaystyle k}$ porównujemy z wartościami krytycznymi testu.

Jeżeli wystąpi ${\displaystyle k\leqslant k_{1}}$ lub ${\displaystyle k\geqslant k_{2},}$ odrzucamy H₀ na rzecz H₁, co będzie oznaczało, że próba nie ma charakteru losowego.

Jeżeli ${\displaystyle n_{A}}$ i ${\displaystyle n_{B}\geqslant 20,}$ to zmienna losowa ${\displaystyle K}$ dąży asymptotycznie do rozkładu normalnego ${\displaystyle \mathrm {N} \{E(K),D(K)\}.}$ Wartość średnia i wariancja zmiennej są określone wzorami:

${\displaystyle \mathbb {E} (K)={\frac {2n_{A}n_{B}}{n}}+1,}$

${\displaystyle D^{2}(K)={\frac {2n_{A}n_{B}(2n_{A}n_{B}-n)}{(n-1)n^{2}}}.}$

Wykorzystując te parametry, obliczamy statystykę ${\displaystyle Z,}$ która przy założeniu prawdziwości ${\displaystyle H_{0}}$ ma rozkład N(0,1).

${\displaystyle Z={\frac {K-E(K)}{D(K)}}.}$

Zobacz też

Zobacz w Wikiźródłach tablicę rozkładu normalnego

• test statystyczny
• przegląd zagadnień z zakresu statystyki