Transformacja Boxa-Mullera

Transformacja Boxa-Mullera – metoda generowania liczb losowych o rozkładzie normalnym, na podstawie dwóch wartości zmiennej o rozkładzie jednostajnym na przedziale $(0, 1] .$

Niech $U_{1}$ oraz $U_{2}$ będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym na $(0, 1] .$ Niech zmienne $R, Θ$ dane w odpowiednim układzie współrzędnych polarnych spełniają

R^{2} = - 2 \cdot \ln U_{1}

oraz

Θ = 2 π U_{2} .

(Wówczas $R, Θ$ są niezależne.) Połóżmy

Z_{1} = R \cos Θ = \sqrt{- 2 \ln U_{1}} \cos (2 π U_{2}) = \sqrt{\ln (1 / U_{1})^{2}} \cdot \cos (2 π \cdot U_{2})

oraz

Z_{2} = R \sin Θ = \sqrt{- 2 \ln U_{1}} \sin (2 π U_{2}) = \sqrt{\ln (1 / U_{1})^{2}} \cdot \sin (2 π \cdot U_{2}) .

Wówczas zmienne losowe $Z_{1}, Z_{2}$ są niezależne i o rozkładzie normalnym z odchyleniem standardowym 1.

Zobacz też